Bagaimana dengan perkiraan kesalahan sederhana ini untuk PDE linier?

10

Misalkan $\Omega$ menjadi domain Lipschitz yang dibatasi secara cembung di $\mathbb R^2$ , misalkan $f \in L^2(\Omega)$ .

Maka solusi dari masalah Dirichlet $\Delta u = f$ dalam $\Omega$ , $\operatorname{trace} u = 0$ pada $\partial\Omega$ memiliki solusi unik dalam $H^2$ dan berpose dengan baik, yaitu untuk beberapa konstanta $C$ kita memiliki $\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2}$ .

Untuk beberapa perkiraan elemen hingga $u_h$ , katakanlah, dengan elemen nodal pada grid yang seragam, kami memiliki estimasi kesalahan

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2}$

Tampaknya (mungkin saya salah dengan itu) bahwa orang biasanya tidak menggunakan estimasi kesalahan yang jelas

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| f \|_{L^2}$

yang bisa kita dapatkan dengan kombinasi dari dua ketidaksetaraan di atas. Sebaliknya, penduga kesalahan posteriori dikembangkan dalam berbagai bentuk. Satu-satunya keberatan yang dapat saya bayangkan terhadap persamaan di atas adalah bahwa konstanta $C$ dalam praktiknya terlalu pesimistis atau tidak dapat diestimasi dengan andal.

pde finite-element error-estimation

— shuhalo
sumber

8

Alasan mengapa orang lebih suka menggunakan estimasi pertama, menurut saya, adalah yang pertama muncul secara alami dari ortogonalitas Galerkin dari FEM, properti perkiraan interpolasi, dan yang paling penting adalah koersivitas bentuk bilinear (untuk masalah nilai batas persamaan Poisson , ini setara dengan ketidaksetaraan Poincaré / Friedrichs untuk fungsi ): $H^1_0$

\begin{aligned} ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1} (Ω)}^{2} & \leq c_{1} ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} & = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - u_{h}) \\ = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - I u) \\ \leq ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \\ \Rightarrow ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} & \leq ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \leq c_{2} h ‖ u ‖_{H^{2} (Ω)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \|u - u_h\|^2_{H^1(\Omega)} &\leq c_1 \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} \\ \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- u_h) \\ &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- \mathcal{I}u) \\ &\leq \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \\ \Rightarrow \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} &\leq \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \leq c_2 h\| u\|_{H^2(\Omega)} \end{aligned}$ mana bergantung pada konstanta dalam ketidaksetaraan Poincaré / Friedrichs untuk fungsi , adalah interpolasi pada finite ruang elemen, dan

c_{1}

$c_1$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

I u

$\mathcal{I}u$

u

$u$

c_{2}

$c_2$ tergantung pada sudut minimum mesh.

Sementara estimasi keteraturan elips semata-mata pada tingkat PDE, tidak ada hubungannya dengan perkiraan, ditambah argumen di atas berlaku bahkan ketika adalah distribusi. $\|u \|_{H^2(\Omega)}\leq c\|f\|_{L^2(\Omega)}$ $f\in H^{-1}$

Sekarang beralih ke alasan mengapa estimasi kesalahan posteriori banyak digunakan, terutama karena:

Itu dapat dihitung, tidak ada konstanta generik dalam ekspresi estimasi.
Estimator memiliki bentuk lokal, yang bisa menjadi indikator kesalahan lokal yang digunakan dalam prosedur pemurnian mesh adaptif. Oleh karena itu, masalah singularitas atau geometri yang benar-benar "buruk" dapat diatasi.

Kedua jenis perkiraan a priori yang Anda cantumkan valid, mereka memberikan kami informasi pesanan konvergensi, namun tidak satupun dari mereka bisa menjadi indikator kesalahan lokal hanya untuk satu segitiga / tetrahedron, karena tak satu pun dari mereka dapat dihitung karena konstanta , juga tidak ditentukan secara lokal.

SUNTING: Untuk lebih banyak pandangan umum tentang FEM untuk elips PDE, saya sangat merekomendasikan membaca Bab 0 dalam buku Brenner dan Scott: Teori Matematika Metode Elemen Hingga , yang terdiri hanya 20 halaman dan mencakup secara singkat hampir setiap aspek metode elemen hingga. , dari formulasi Galerkin dari PDE, hingga motivasi mengapa kami ingin menggunakan FEM adaptif untuk mengatasi beberapa masalah. Semoga ini bisa membantu Anda lebih banyak.

— Shuhao Cao
sumber

1

Perkiraan Anda terlalu pesimis di dua sisi. Anda telah mengidentifikasi yang pertama ( sekarang tidak hanya menyertakan konstanta interpolasi tetapi juga konstanta stabilitas). Yang kedua adalah bahwa estimasi kesalahan benar-benar membaca Perhatikan bahwa sisi kanan memiliki seminorm , bukan norma. Tentu saja Anda dapat mengikat rhs dengan norma penuh, tetapi Anda kehilangan lagi dengan cara ini. $C$

‖ \nabla e ‖_{L_{2}} \leq C h | u |_{H^{2}} .

$\|\nabla e\|_{L_2} \le C \;h\; |u|_{H^2}.$

H^{2}

$H^2$

— Wolfgang Bangerth
sumber