Bisakah metode garis digunakan untuk mendiskritisasi semua PDE?

Saya telah menemukan bahwa metode garis adalah cara yang sangat alami untuk berpikir tentang diskritisasi PDE. Karena itu saya selalu default ke pola pikir itu ketika disajikan dengan set persamaan baru. Saya belum pernah melihat PDE di mana ini tidak akan berhasil.

Yang saya ingin tahu adalah apakah ada metode diskritisasi (atau jenis PDE) yang tidak dapat dirumuskan melalui metode garis. Saya berharap bahwa setiap PDE mana turunan waktu tersirat dalam persamaan dan tidak dapat dipecahkan akan menjadi salah satu kasus tersebut (walaupun saya tidak tahu contoh aktualnya). Saya mencari alasan mengapa metode garis selalu berlaku atau contoh yang berlawanan.

Satu situasi di mana pendekatan metode garis biasa tidak dapat digunakan dengan cara langsung adalah dengan persamaan yang memiliki turunan ruang-waktu campuran .. Dengan "pendekatan metode garis biasa", maksud saya diskritisasi turunan spasial diikuti oleh penerapan metode Runge-Kutta atau linear multistep. Ini biasanya hanya berlaku untuk sistem PDE evolusi orde pertama (dalam waktu).

Contoh persamaan dengan turunan campuran tersebut adalah Persamaan. (2.1) dari http://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/060676064 .

Paling tidak dalam beberapa kasus, dimungkinkan untuk menulis ulang persamaan seperti sistem PDE evolusi tingkat pertama, tetapi saya tidak segera melihat cara untuk melakukannya di sini. Mungkin ada trik lain untuk menerapkan metode garis ke persamaan seperti itu, tetapi saya tidak tahu mereka.