Diskritisasi elemen hingga ruang-waktu untuk PDE bergantung-waktu

Dalam literatur FEM, metode semi-variasional biasanya digunakan dalam solusi PDE bergantung waktu. Saya belum melihat pendekatan yang sepenuhnya variasional yaitu di mana ruang dan waktu didiskritkan oleh FEM, mungkin memungkinkan penggunaan jerat ruang-waktu yang tidak terstruktur. Meskipun metode pencatat waktu mungkin lebih mudah diterapkan, apakah ada alasan khusus mengapa penyambungan ruang-waktu tidak dapat dilakukan? Saya membayangkan seseorang harus menyesuaikan jerat untuk menghormati sifat fisik dari masalah yang diberikan, tetapi saya tidak yakin.

Diskritisasi ruang-waktu penuh dari persamaan diferensial parsial bergantung waktu memang merupakan suatu hal. Jika Anda menggunakan mesh terstruktur dalam waktu (dalam arti bahwa diskritisasi waktu tidak tergantung pada ruang) dan pilihan yang sesuai dari fungsi uji coba, Anda dapat menyesuaikan beberapa metode stepping waktu standar (Crank-Nicolson, Euler implisit atau Runge) Skema -Kutta) menjadi kerangka kerja Galerkin, yang memberikan pendekatan analisis yang elegan. Ini dijelaskan, misalnya, dalam buku Thomée, Metode Elemen Hingga Galerkin untuk Masalah Parabola (Springer, 2nd ed., 2006) atau perkiraan kesalahan Chrysafinos dan Walkington untuk metode Galerkin diskontinyu untuk persamaan parabola , (SIAM J. Numer. Anal . 44.1, 349-366, 2006).

Menggunakan mesh yang sepenuhnya tidak terstruktur jarang terjadi, tetapi bisa masuk akal untuk masalah hiperbolik di mana Anda memiliki transportasi informasi sepanjang karakteristik. Jika Anda menggunakan formulasi Galerkin terputus, setiap elemen ruang-waktu hanya berpasangan dengan elemen tetangga melalui istilah wajah (Anda tidak memiliki persyaratan kesinambungan global), dan Anda dapat menggunakan proses sapuan untuk menghitung solusi dengan pergi dari elemen ke elemen sepanjang karakteristik - semacam "miring" loncatan waktu. Tentu saja, ini jauh lebih sulit untuk diimplementasikan, bahkan jika itu tidak memerlukan penyimpanan mesh ruang-waktu penuh (yang dapat menjadi penghalang). Di sisi lain, Anda mendapatkan keuntungan dari jerat tidak terstruktur yang memungkinkan penyempurnaan lokal (adaptif) dan karenanya secara lokal adaptif dalam melangkah waktu.Metode elemen hingga ruang-waktu untuk elastodinamika: formulasi dan perkiraan kesalahan , Metode Komputer dalam Mekanika dan Teknik Terapan 66 (3): 339-363, 1988 . Ada juga tesis PhD oleh Shripat Thite tentang Spacetime Meshing untuk Metode Galerkin Discontinuous .

Konteks lain di mana saya telah melihat ide ini adalah dalam optimasi dibatasi PDE untuk masalah parabola. Di sana Anda dapat merumuskan kondisi optimalitas urutan pertama yang diperlukan sebagai sistem gabungan dari persamaan maju-mundur, yang dapat Anda interpretasikan sebagai formulasi campuran dari orde kedua dalam waktu, orde 4 dalam persamaan elips ruang dengan awal-akhir (dan kondisi batas. Dengan melakukan diskritisasi ruang-waktu adaptif dari sistem yang digabungkan ini, Anda dapat memiliki pendekatan satu-langkah yang efisien untuk menghitung solusi, lihat Gong, Hinze, Zhou: Pendekatan elemen hingga ruang-waktu dari masalah kontrol optimal parabola , J Numer. Matematika 20 (2): 111-145 (2012) .

Ada makalah yang lebih baru tentang Metode Ruang-Waktu. Ada satu dari Steinbach, Elemen Hingga Ruang-Waktu dan lainnya dari Langer et. al, Analisis Isogeometrik Ruang-Waktu semua membahas Masalah Evolusi Parabola. Dalam kedua artikel, mereka menggambarkan dengan jelas formulasi variasi tetapi dalam pengaturan yang berbeda. Seperti judulnya, yang pertama menggunakan FEM dan IgA yang terakhir. Saya pikir ini memberikan informasi yang baik terutama tentang apa yang Anda cari.

$\theta-$

Penerapan ruang-waktu produk Tensor sangat berbeda dari yang berbasis non-tensor. Yang terakhir ini agak rumit terutama untuk FEM.