Apa metode berulang dapat secara efektif menyelesaikan sistem linear dengan spektrum semacam ini

Saya memiliki sistem linier dengan matriks yang nilai eigennya terdistribusi secara seragam pada satuan lingkaran seperti ini:

masukkan deskripsi gambar di sini

Apakah mungkin untuk menyelesaikan sistem semacam ini secara efektif dengan metode iteratif, mungkin dengan beberapa prekondisi?

linear-algebra iterative-method preconditioning

— faleichik
sumber

Saya pikir MINRES akan melakukan ini, meskipun saya hanya tahu hasil yang serupa untuk spektrum nyata. Apakah Anda tahu lebih banyak tentang matriks (khususnya, apakah itu normal)?

— Christian Clason

Juga, lihat halaman.math.tu-berlin.de/~liesen/Publicat/LiTiGAMM.pdf

— Christian Clason

A^{*} A x = A^{*} b

$A^*Ax = A^*b$

@ChristianClason secara umum, matriksnya tidak normal. Ini memiliki struktur blok tertentu dan jarang. Terima kasih untuk referensi!

— faleichik

Jika matriksnya sangat tidak normal maka saran saya tentang CGNE salah, tetapi makalah itu seharusnya menjadi awal yang baik. Perpustakaan PETSc memiliki hampir semua pemecah ruang bagian Krylov di bawah matahari, sehingga Anda dapat mencoba semuanya dan melihat mana yang paling berhasil. Ada juga antarmuka Python untuk itu, yang membuat segalanya jauh lebih nyaman.

— Daniel Shapero

Matriks ini dikondisikan dengan sangat baik, karenanya GMRES (k) harus bekerja dengan baik tanpa prekondisi.

— Arnold Neumaier
sumber

Meskipun matriks dikondisikan dengan baik, ini tidak berarti bahwa GMRES menyatu dengan baik. Contoh oktaf (Matlab): `n = 100; A = mata (n); p = [n, 1: n-1]; A = A (:, p); condition_number = cond (A), b = eye ( n, 1) + rand (n, 1) * 1e-6; [x, flag, relres, iter, resvec] = gmres (A, b); tutup semua; semilogi (resvec); gambar; plot (eig (Aig ), "."); `

— wim

A

$A$