Verifikasi dalam masalah nilai Eigen

Mari kita mulai dengan masalah formulir

(L + k^{2}) u = 0

$(\mathcal{L} + k^2) u=0$

dengan seperangkat kondisi batas yang diberikan ( Dirichlet , Neumann , Robin , Periodic , Bloch-Periodic ). Ini sesuai dengan menemukan nilai eigen dan vektor eigen untuk beberapa operator $\mathcal{L}$ , dalam beberapa kondisi geometri, dan batas. Seseorang dapat memperoleh masalah seperti ini dalam akustik, elektromagnetisme, elastodinamika, mekanika kuantum, misalnya.

Saya tahu bahwa seseorang dapat mendiskritisasi operator menggunakan metode yang berbeda, misalnya, Metode Perbedaan Hingga untuk mendapatkan

[A] {U} = k^{2} {U}

$[A]\{U\} = k^2 \{U\}$

atau menggunakan, Metode Elemen Hingga untuk mendapatkan

[K] {U} = k^{2} [M] {U} .

$[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace .$

Dalam satu kasus mendapatkan masalah nilai eigen dan masalah nilai eigen umum di lain. Setelah mendapatkan versi diskrit dari masalah, orang menggunakan solver untuk masalah nilai eigen.

Beberapa pemikiran

Metode Solusi yang Diproduksi tidak berguna dalam kasus ini karena tidak ada istilah sumber untuk menyeimbangkan persamaan.
Seseorang dapat memverifikasi bahwa matriks dan ditangkap dengan baik menggunakan masalah domain frekuensi dengan istilah sumber, misalnya $[K]$ $[M]$

$[\nabla^{2} + ω^{2} / c^{2}] kamu (ω) = f (ω), \forall ω \in [ω_{min}, ω_{maks}]$ $[\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max]$
dari pada

$[\nabla^{2} + k^{2}] kamu = 0 .$ $[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace .$
Tapi ini tidak akan memeriksa masalah solver.
Mungkin, orang dapat membandingkan solusi untuk metode yang berbeda, seperti FEM dan FDM.

Pertanyaan

Apa cara untuk memverifikasi solusi (pasangan eigen-nilai eigen) untuk skema diskritisasi karena metode numerik seperti FEM dan FDM untuk masalah nilai eigen?

— nicoguaro
sumber

Bisakah Anda membandingkan hasil Anda dengan spektra untuk kasus yang diketahui (persegi, kubus, lingkaran, bola)? Ada juga tingkat konvergensi yang diharapkan untuk vektor eigen dan nilai eigen dalam norma yang sesuai yang dapat Anda periksa (meskipun angka ini cenderung bervariasi tergantung pada frekuensi - lihat journals.cambridge.org/action/… )

— Jesse Chan

Ya, Anda dapat membandingkan dengan solusi analitik. Tetapi biasanya mereka disediakan untuk kasus yang sangat sederhana. Pertanyaannya adalah bagaimana melakukan proses verifikasi. Jika ada sesuatu yang mirip dengan metode oh solusi yang dibuat. Atau jika Anda harus menggabungkan metode ini untuk masalah lain dengan solusi analitis.

— nicoguaro

Dalam satu dimensi, jika Anda mulai dengan

, dan memiliki

diinginkan

, Anda dapat mencoba menguraikan

, jika

ada, lalu jalankan dengan

. Ini bisa mengacaukan simetri

dan properti lainnya, saya kira. Di sini

k, v

$k,v$

(L + k^{2}) v = w \neq 0

$(\mathcal{L}+k^2)v = w \neq0$

w = f v + g v^{'}

$w = fv+gv'$

f, g

$f,g$

L^{'} = L - f - g \partial

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-f-g\partial$

L

$\mathcal{L}$

v

$v$ dan

v^{'}

$v'$ harus independen secara linear, dan tidak bisa menghilang pada titik yang sama.

— Kirill

@JesseChan, terima kasih untuk bacaan yang disarankan. Butuh beberapa waktu tetapi saya membacanya. Saya tidak berpikir mereka memberikan informasi yang cukup untuk tujuan yang diinginkan.

— nicoguaro

Saya ingin memastikan bahwa saya telah memahami Anda dengan benar. Apakah Anda ingin tahu cara memperkirakan jarak antara pasangan eigen yang dihitung untuk operator diskrit (matriks atau matriks) dan pasangan eigen yang sesuai untuk operator yang lancar? Atau apakah Anda ingin sekarang bagaimana memperkirakan keakuratan yang dengannya Anda telah memecahkan masalah nilai eigen tersendiri?

— Carl Christian

Saya menyadari pertanyaan ini sudah tua, tetapi saya baru melihatnya dan merasa menarik. Di masa lalu, saya telah mengikuti saran yang ditemukan dalam komentar pertanyaan ini, ditambah dengan beberapa kasus yang sedikit lebih rumit yang saya kenal dalam literatur (Orr - Sommerfeld selalu berguna).

Namun, saya juga mengetahui beberapa literatur tentang masalah nilai eigen tidak homogen yang muncul ketika membangun solusi buatan. Ada beberapa diskusi tentang masalah seperti ini di sini: DOI: 10.1016 . Para penulis ini juga menyarankan apa yang disebut Metode Palang Diproduksi (MXS, saya kira) untuk menghindari masalah ini sama sekali, yang saya tidak akan berpura-pura mengerti saat ini, tetapi bisa sangat berguna.

— Spencer Bryngelson
sumber

Apa yang mereka usulkan sebagai "masalah nilai eigen tidak homogen" adalah pendekatan yang saya usulkan dalam posting asli saya. Saya masih mencoba untuk memahami Metode Bagian Cross Diproduksi.

— nicoguaro

Saya menyadari itu, hanya menyarankan bahwa beberapa literatur ada untuk masalah seperti itu sehingga mungkin tidak menjadi jalan buntu seperti yang Anda sarankan: "Solusi Manufaktur tidak berguna dalam kasus ini karena tidak ada istilah sumber untuk menyeimbangkan persamaan."

— Spencer Bryngelson

Itu bukan kritik terhadap posting Anda. Justru sebaliknya! Saya hanya berkomentar apa yang saya temukan setelah membaca referensi untuk mempromosikan diskusi.

— nicoguaro

Untuk turunan orde kedua (dan Laplacian pada domain sederhana), tersedia ekspresi untuk pasangan eigen diskrit (yaitu setelah diskritisasi). Misalnya, untuk perbedaan hingga, pasangan eigen tercantum di sini .

Ekspresi untuk pasangan eigen dengan diskritisasi elemen hingga dapat ditemukan serupa (untuk diskritisasi P1 dan P2).

— pengguna7440
sumber