Nilai eigen terkecil tanpa terbalik

Misalkan adalah matriks pasti simetris, positif. cukup besar sehingga mahal untuk menyelesaikan secara langsung. $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ $A$ $Ax=b$

Adakah algoritma iteratif untuk menemukan nilai eigen terkecil dari yang tidak melibatkan pembalikan di setiap iterasi? $A$ $A$

Artinya, saya harus menggunakan algoritma iteratif seperti gradien konjugasi untuk menyelesaikan , jadi berulang kali menerapkan sepertinya seperti "lingkaran dalam" yang mahal. Saya hanya perlu vektor eigen tunggal. $Ax=b$ $A^{-1}$

Terima kasih!

— Justin Solomon
sumber

Sudahkah Anda mencoba menggunakan dekomposisi Cholesky? Anda harus memasukkan faktor

A

$A$ ke

L L^{T}

$L L^T$ dengan

L

$L$ menjadi matriks segitiga. Setelah Anda memiliki faktorisasi (Anda hanya melakukan ini sekali), Anda dapat menggunakannya di setiap iterasi untuk menyelesaikan sistem dengan sangat cepat dengan substitusi maju dan mundur.

— Juan M. Bello-Rivas

Apakah matriks jarang?

— Tolga Birdal

memiliki beberapa struktur blok, tetapi saya lebih suka tidak mengacaukannya jika saya tidak perlu - jadi saya mencari "metode bebas matriks." Algoritma "LOBPCG" memiliki beberapa janji, saya pikir! @Juan, faktorisasi Cholesky masih cukup mahal.

A

$A$

— Justin Solomon

Jika Anda menggunakan matlab atau oktaf gunakan eigs-routine. Ini adalah metode berulang. Ada beberapa opsi untuk menentukan nilai eigen yang Anda inginkan, mis . Real terkecil .

— sebastian_g

Saya mengerti dan memang menggunakan eigs di matlab. Tapi jika Anda menentukan pilihan seperti "sm" di eigs, maka membutuhkan kebalikan dari

bukan

. Lihat tabel dalam dokumentasi: mathworks.com/help/matlab/ref/eigs.html

A

$A$

A

$A$

— Justin Solomon

Hitung nilai eigen dengan magnitudo terbesar dari (dengan, katakanlah, ). $\lambda_{max}$ $A$ eigs('lm')
Kemudian menghitung besarnya terbesar (negatif) nilai eigen dari (sekali lagi, melalui panggilan standar untuk ). $\hat{\lambda}_{max}$ $M = A - \lambda_{max}I$ eigs('lm')
$\hat{\lambda}_{max} + \lambda_{\max} = \lambda_{min}(A)$
Cari eigenvector Anda oleh pemecahan . $v$ $(A - \lambda_{min} I) v = 0$

— GoHokies
sumber