Solusi kuat dan lemah dari PDE

Bentuk PDE yang kuat mensyaratkan bahwa solusi yang tidak diketahui milik . Tetapi bentuk lemah hanya mensyaratkan bahwa solusi yang tidak diketahui milik . $H^2$ $H^1$

Bagaimana Anda mendamaikan ini?

pde weak-solution

— Mohamed Cheddadi
sumber

Kelas solusi lemah lebih besar dari kelas solusi kuat (setiap solusi kuat juga merupakan solusi lemah, tetapi tidak setiap solusi lemah juga merupakan solusi kuat).

— Christian Clason

Tetapi hanya ada satu solusi.

— Mohamed Cheddadi

Ada satu solusi untuk setiap fungsi sisi kanan (tepat) atau serangkaian kondisi batas (tepat). Ruang RHS atau BC yang tepat lebih besar untuk solusi lemah daripada yang kuat.

— Bill Barth

Mari kita lihat kasus persamaan Poisson yang paling sederhana

\begin{matrix} (1) & - Δ u = f \end{matrix}

$-\Delta u = f \tag{1}$ pada domain

Ω \subset R^{n}

$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ bersama-sama dengan kondisi Dirichlet yang homogen

\begin{matrix} (2) & u |_{\partial Ω} = 0 \end{matrix}

$u|_{\partial\Omega} = 0 \tag{2}$ pada batas

\partial Ω

$\partial\Omega$ dari

Ω

$\Omega$ . Kami berasumsi untuk saat ini yang

\partial Ω

$\partial\Omega$ adalah sebagai halus seperti yang kita inginkan (misalnya, dapat parametrized oleh

C^{\infty}

$C^\infty$ fungsi) - ini akan menjadi penting kemudian.

Pertanyaannya sekarang adalah bagaimana menafsirkan PDE $(1)$ murni formal) . Biasanya, ini dijawab dengan cara menafsirkan turunan $\Delta$ , tetapi untuk tujuan kami lebih baik fokus pada bagaimana menafsirkan persamaan .

PDE $(1)$ diasumsikan berpegang teguh pada setiap $x\in\Omega$ . Agar ini masuk akal, sisi kanan $f$ harus kontinu, jika tidak, kita tidak dapat berbicara tentang nilai-nilai titik $f(x)$ . Ini berarti bahwa turunan (klasik) kedua dari solusi $u$ harus kontinu, yaitu, kita harus mencari $u\in C^2(\Omega)$ .

Fungsi $u\in C^2(\Omega)$ yang memuaskan $(1)$ bersama-sama dengan kondisi batas $(2)$ searahnya disebut solusi klasik (kadang-kadang, sayangnya, juga solusi kuat ).
Persyaratan bahwa $f$ adalah kontinu terlalu ketat untuk aplikasi praktis. Jika kita hanya mengasumsikan $(1)$ berpegang teguh pada hampir setiap $x\in \Omega$ (yaitu, di mana-mana kecuali untuk set Lebesgue ukuran nol), maka kita bisa lolos dengan $f\in L^2(\Omega)$ . Ini berarti bahwa turunan kedua adalah fungsi dalam $L^2$ , yang masuk akal jika kita mengambil turunan yang lemah dan karenanya mencari $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ . (Ingat bahwa untuk fungsi $u$ yang tidak terus menerus, kita tidak bisa mengambil syarat batas $(2)$ pointwise. Sejak $\partial \Omega$ memiliki nol Lebesgue mengukur sebagai bagian dari $\bar\Omega$ , pointwise hampir di mana-mana tidak masuk akal baik.)

Sebuah fungsi $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ yang memenuhi $(1)$ hampir di semua tempat disebutsolusi kuat. Perhatikan bahwa secara umum perlu dan non-sepele untuk menunjukkan bahwa solusi seperti itu ada dan unik (yang merupakan kasus untuk contoh di sini).
$f$ $(1)$ $H^{-1}(\Omega)$ $H^1_0(\Omega)$ $f\in H^{-1}(\Omega)$ $L^2(\Omega)$ $(1)$
$\begin{matrix} (3) & \int_{Ω} \nabla u (x) \cdot \nabla v (x) d x = \int_{Ω} f (x) v (x) d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}$ $\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$
$u\in H^1_0(\Omega)$ $(3)$

$H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$

$(3)$ $u\in H^2(\Omega)$ $f\in L^2(\Omega)$ $H^{-1}(\Omega)$ $n=2$ $H^2(\Omega)$ $C(\bar\Omega)$ $\partial\Omega$
$f\in L^2(\Omega)$
$H^1_0(\Omega)$ $H^2(\Omega)$ , atau lebih rumit, persamaan nonlinier; lihat, misalnya, http://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/ .)

— Christian Clason
sumber

Saya menemukan jawaban ini sangat berguna. Bisakah Anda memberikan referensi ke bagian terakhir dari jawaban Anda? Saya ingin melihat contoh di mana PDE memiliki solusi kuat yang unik tetapi memungkinkan beberapa solusi lemah. Terima kasih!

— Induction601