Apa yang dikatakan analisis stabilitas Von Neumann tentang persamaan perbedaan hingga non-linear?

9

Saya membaca makalah [1] di mana mereka memecahkan persamaan non-linear berikut menggunakan metode beda hingga. Mereka juga menganalisis stabilitas skema menggunakan analisis stabilitas Von Neumann. Namun, seperti yang disadari oleh penulis, ini hanya berlaku untuk PDE linier. Jadi penulis menyiasatinya dengan "pembekuan" istilah non-linear, yaitu mereka mengganti jangka dengan , di mana adalah "dianggap mewakili nilai-nilai lokal yang konstan

u_{t} + u_{x} + u u_{x} - u_{x x t} = 0

$\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation}$

u u_{x}

$uu_x$

U u_{x}

$Uu_x$

U

$U$

. "

u

$u$

Jadi pertanyaan saya ada dua:

1: bagaimana menafsirkan metode ini dan mengapa itu tidak berhasil?

2: bisakah kita juga mengganti istilah dengan istilah , di mana dianggap mewakili nilai konstanta secara lokal ? $uu_x$ $uU_x$ $U_x$ $u_x$

Referensi

Eilbeck, JC, dan GR McGuire. "Studi numerik dari persamaan gelombang-panjang I yang teregulasi: metode numerik." Jurnal Fisika Komputasi 19.1 (1975): 43-57.

— Pemburu
sumber

1

Anda salah mengetik persamaan. Persamaan dalam makalah ini adalah persamaan RLW.

— Ömer

3

Pertanyaan terkait, tanpa jawaban lengkap: scicomp.stackexchange.com/q/8717/713 , mathoverflow.net/q/186760 , scicomp.stackexchange.com/q/16142 , scicomp.stackexchange.com/q/6863 . Saya pikir, heuristically berbicara, itu harus bekerja karena Anda tertarik pada stabilitas mode frekuensi sangat tinggi (di mana kesalahan terjadi, panjang gelombang pada urutan jarak mesh), sedangkan solusi itu sendiri akan bervariasi dengan frekuensi yang jauh lebih rendah, jadi tidak apa-apa untuk membekukan koefisien dan mempelajari stabilitas PDE koefisien beku.

— Kirill

2

Saya memberikan jawaban atas beberapa pertanyaan yang dihubungkan oleh Kirill. Sayangnya, saya tidak mengetahui adanya hasil untuk persamaan RLW, tetapi mungkin stabilitas dapat dibuktikan selama solusinya cukup lancar.

— David Ketcheson

1

Apa yang Anda katakan disebut linierisasi. Ini adalah teknik umum yang digunakan dalam analisis PDE non-linear. Apa yang dilakukan adalah untuk memberikan persamaan dalam format,

$u_t+Au=0$

Di sini A adalah matriks yang dihasilkan dari linierisasi persamaan.

Sekarang untuk pertanyaan Anda,

Ketika Anda berpikir, itu bekerja sampai batas tertentu, tetapi tidak sampai batas tertentu. Kegunaannya adalah stabilitas dapat dibuktikan untuk sistem linier tetapi tidak siap untuk sistem non-linear. Jadi hasil linear diperluas ke sistem non-linear. Seringkali, berbagai metode diadopsi untuk kasus-kasus tertentu. Sebagai contoh,

$uu_x = \frac{1}{2}(u^2)_x$

yang merupakan bentuk konservasi. Begitu,

$u_t+\frac{1}{2}(u^2)_x = 0$

ketika diwakili dalam arti volume terbatas memberi batasan pada evolusi u.

Apa kegunaan melakukan penggantian. Anda akan menghapus persamaan dari bentuk persamaan gelombang. Yang berarti bahwa solusi tidak akan berperilaku sebagai persamaan gelombang. Jadi dalam analisis stabilitas, solusi pengujian harus benar-benar berbeda dan tidak-fisik juga.

— Vikram
sumber

2

Untuk menguraikan argumen linearisasi, dalam uu_x Anda ingin menganggap Anda konstan secara lokal, bukan u_x, karena dua alasan: a) u bervariasi lebih lambat daripada turunannya, dan b) dalam kasus khusus ini, jika Anda menganggap u_x adalah konstanta lokal , menurut definisi Anda juga menganggap Anda adalah linier lokal, yang berarti turunan ruang yang lebih tinggi adalah nol, dan ini tidak hanya menimbulkan kesalahan perkiraan tambahan, tetapi mungkin menyiratkan Anda mungkin membuang bayi dengan air mandi, tergantung pada persamaan Anda.

— Domingo Tavella
sumber