konvergensi metode elemen hingga ketika sisi kanan hanya dalam (Poisson eqn)

Saya tahu bahwa aproksimasi elemen hingga linear piecewise linear dari memenuhi asalkan cukup halus dan . $u_h$

Δ u (x) = f (x) in U u (x) = 0 on \partial U

$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$

‖ u - u_{h} ‖_{H_{0}^{1} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{L^{2} (U)}

$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$

U

$U$

f \in L^{2} (U)

$f\in L^2(U)$

Pertanyaan: Jika $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$ , apakah kita memiliki estimasi analog berikut, di mana satu turunan diambil pada kedua sisi:

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{H^{- 1} (U)} ?

$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$

Bisakah Anda memberikan referensi?

Pikiran: Karena kita masih memiliki $u\in H^1_0(U)$ , harus dimungkinkan untuk mendapatkan konvergensi dalam $L^2(U)$ . Secara intuitif, ini bahkan harus dimungkinkan dengan fungsi konstan piecewise.

— Bananach
sumber

Saya pikir Anda mendapatkan

‖ u - u_{h} ‖_{0} \leq C h ‖ u - u_{h} ‖_{1}

$\|u-u_h\|_0 \leq C h \|u-u_h\|_1$ dari trik Nitsche standar bahkan untuk

u \in H^{1}

$u \in H^1$ . Anda dapat menemukan ini misalnya dalam elemen Braess - Finite.

— knl

Ya , ini adalah trik standar Aubin-Nitsche (atau dualitas ). Idenya adalah untuk menggunakan fakta bahwa adalah ruang ganda sendiri untuk menulis -norm sebagai norma operator Dengan demikian, kita harus memperkirakan untuk arbitrary . Untuk melakukan itu, kita "mengangkat" ke dengan mempertimbangkan terlebih dahulu untuk sewenang-wenang solusi dari masalah ganda $L^2$ $L^2$

‖ u ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} .

$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$

(u - u_{h}, ϕ)

$(u-u_h,\phi)$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

u - u_{h}

$u-u_h$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

w_{ϕ} \in H_{0}^{1}

$w_\phi\in H^1_0$

\begin{matrix} (1) & (\nabla w_{ϕ}, \nabla v) = (ϕ, v) for all v \in H_{0}^{1} . \end{matrix}

$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$ Dengan menggunakan keteraturan standar persamaan Poisson, kita tahu bahwa

‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C ‖ ϕ ‖_{L^{2}} .

$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$

Memasukkan di dan menggunakan ortogonalitas Galerkin untuk elemen hingga apa pun (dalam kasus Anda, linier ) dengan fungsi menghasilkan estimasi Karena ini berlaku untuk semua , ketidaksetaraan masih benar jika kita mengambil yang paling atas semua linear . Karena itu kami memperoleh $v=u-u_h\in H^1_0$ $\eqref{eq1}$ $w_h$

\begin{aligned} (ϕ, u - u_{h}) & = (\nabla w_{ϕ}, \nabla (u - u_{h})) \\ = (\nabla w_{ϕ} - \nabla w_{h}, \nabla (u - u_{h})) \\ \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} . \end{aligned}

$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$

w_{h}

$w_h$

w_{h}

$w_h$

\begin{matrix} (2) & ‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u - u_{h}, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}}}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} . \end{matrix}

$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$ Ini adalah Aubin-Nitsche-Lemma .

Langkah selanjutnya adalah sekarang untuk menggunakan estimasi kesalahan standar untuk pendekatan elemen hingga terbaik dari solusi untuk persamaan Poisson. Karena hanya dalam , kami tidak mendapatkan perkiraan yang lebih baik dari Tetapi untungnya, kita dapat menggunakan fakta bahwa memiliki keteraturan yang lebih tinggi karena sisi kanan bukannya . Dalam hal ini, kami memiliki Memasukkan dan ke dalam $u$ $H^1$

\begin{matrix} (3) & ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq inf_{v_{h}} ‖ u - v_{h} ‖_{H^{1}} \leq c ‖ u ‖_{H^{1}} \leq C ‖ f ‖_{H^{- 1}} . \end{matrix}

$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$

w_{ϕ}

$w_\phi$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

H^{- 1}

$H^{-1}$

\begin{matrix} (4) & inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} \leq c h ‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C h ‖ ϕ ‖_{L^{2}} \end{matrix}

$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$

(3)

$\eqref{eq3}$

(4)

$\eqref{eq4}$

(2)

$\eqref{eq2}$ sekarang menghasilkan taksiran yang diinginkan.

(Perhatikan bahwa perkiraan standar mengharuskan polinomial derajat dari perkiraan elemen hingga dan Sobolev eksponen dari solusi yang benar memuaskan , maka argumen ini tidak bekerja untuk piecewise konstan ( ) pendekatan. Kami juga telah menggunakan - yaitu, bahwa kami memiliki perkiraan yang sesuai - yang tidak benar untuk konstanta sambungan satu sama lain.) $k$ $m$ $m<k+1$ $k=0$ $u-u_h\in H^1_0$

Karena Anda meminta referensi: Anda dapat menemukan pernyataan (bahkan untuk ruang Sobolev negatif bukan ) dalam Teorema 5.8.3 (bersama dengan Teorema 5.4.8) di $H^{-s}$ $L^2$

Susanne C. Brenner dan L. Ridgway Scott , MR 2373954 Teori matematika metode elemen hingga , Teks dalam Matematika Terapan ISBN: 978-0-387-75933-3.

— Christian Clason
sumber

Dan saya dapat memanfaatkan fitur kutipan baru kami yang mengkilap :)

— Christian Clason

Terima kasih atas jawaban Anda, tetapi fungsi kontinu tidak tertanam ke bukan?

H_{0}^{1}

$H^1_0$

— Bananach

Ya, maaf, saya mengelus di sana - mereka padat, tetapi tidak tertanam. Argumen dualitas bekerja sama, meskipun (hanya bekerja dengan dan secara langsung). Saya akan mengedit jawaban saya sesuai.

H_{0}^{1}

$H^1_0$

H^{- 1}

$H^{-1}$

— Christian Clason

Terima kasih atas pembaruan yang ekstensif. Dan untuk menemukan kutipan lain yang mengkilap

— Bananach

@Praveen Saya rasa Anda tidak perlu teori apa pun di sini. Sederhana pilih menjadi nol konstan.

v_{h}

$v_h$

— Bananach