Mengapa dimensi waktu itu istimewa?

24

Secara umum, saya pernah mendengar analis numerik mengutarakan pendapat itu

"Tentu saja, secara matematis, waktu hanyalah dimensi lain, tetapi tetap saja, waktu itu istimewa"

Bagaimana cara membenarkan ini? Dalam hal apa waktu khusus untuk ilmu komputasi?

Selain itu, mengapa kita sering lebih suka menggunakan perbedaan hingga, (mengarah ke "time-stepping"), untuk dimensi waktu, sementara kita menerapkan perbedaan hingga, elemen hingga, metode spektral, ..., untuk dimensi spasial? Salah satu alasan yang mungkin adalah bahwa kita cenderung memiliki IVP dalam dimensi waktu, dan BVP dalam dimensi spasial. Tapi saya tidak berpikir ini sepenuhnya membenarkannya.

pde discretization

— Patrick
sumber

23

Kausalitas menunjukkan bahwa informasi hanya mengalir maju dalam waktu, dan algoritma harus dirancang untuk mengeksploitasi fakta ini. Skema melangkah waktu melakukan ini, sedangkan metode spektral global-in-time atau ide-ide lain tidak. Pertanyaannya tentu saja mengapa semua orang bersikeras mengeksploitasi fakta ini - tetapi itu mudah dimengerti: jika masalah spasial Anda sudah memiliki sejuta hal yang tidak diketahui dan Anda perlu melakukan 1000 langkah waktu, maka pada mesin biasa hari ini Anda memiliki sumber daya yang cukup untuk menyelesaikan masalah spasial dengan sendirinya satu timestep demi satu, tetapi Anda tidak memiliki sumber daya yang cukup untuk menangani masalah yang ditambah dari tidak diketahui. $10^9$

Situasinya benar-benar tidak jauh berbeda dari apa yang Anda miliki dengan diskritisasi spasial dari fenomena transportasi. Tentu, Anda dapat mendiskritisasi persamaan adveksi 1d murni menggunakan pendekatan global digabungkan. Tetapi jika Anda peduli dengan efisiensi, maka pendekatan terbaik adalah menggunakan sapuan hilir yang membawa informasi dari aliran masuk ke bagian aliran keluar dari domain. Persis seperti itulah skema waktu melangkah dalam waktu.

— Wolfgang Bangerth
sumber

Itu poin yang bagus ... memori jelas merupakan kendala utama! :)

— Paul

Saya benar-benar melihat titik bahwa kausalitas muncul secara alami dengan perbedaan yang terbatas, tetapi tidak dengan "penggabungan global". Sebaliknya, "metode pemotretan" untuk memecahkan BVP semacam melakukan yang sebaliknya. Ini memperkenalkan kausalitas yang tidak diinginkan. Secara analitik, untuk persamaan tertentu (mis. PDE hiperbolik orde kedua) kausalitas diperlukan untuk keunikan. Namun, dalam beberapa kasus, tidak, dan saya kira kemudian orang dapat melakukan metode spektral dalam waktu juga. Seperti yang Anda katakan, saya pikir mengurangi ukuran sistem juga merupakan hal yang besar. Dan itu lebih masuk akal untuk melakukan FD dalam waktu daripada di beberapa dimensi spasial sewenang-wenang.

— Patrick

8

Mirip dengan kausalitas yang disebutkan Wolfgang dalam jabatannya, kita dapat melihat alasan mengapa dimensi waktu khusus dari sudut pandang ruangwaktu Minkowski: $\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

The ruang-waktu berdimensi memiliki produk dalam didefinisikan sebagai $(3+1)$ jikadanadalah dua 1-bentuk dalam ruangwaktu Minkowski:

(SEBUAH, B) = {SEBUAH}_{x} B_{x} + {SEBUAH}_{y} B_{y} + {SEBUAH}_{z} B_{z} - \frac{1}{c^{2}} {SEBUAH}_{t} B_{t}

$(A,B) = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z - \dfrac{1}{c^2}A_t B_t$

A

$A$

B

$B$

,

A = A_{x} d x + A_{y} d y + A_{z} d z + A_{t} d t

$A = A_x \rd x + A_y \rd y + A_z \rd z + A_t \rd t$

B

$B$ didefinisikan dengan cara yang sama, intuisi di balik mendefinisikan produk dalam (atau lebih tepatnya mengatakan, metrik) adalah memaksakan gagasan kecepatan cahaya absolut, sehingga dua titik (peristiwa) yang berbeda dalam ruangwaktu memiliki jarak nol (terjadi pada saat "waktu yang sama", seperti kita mengamati pergerakan galaksi milyaran tahun cahaya seolah-olah mereka bergerak sekarang) jika mereka berada di kerucut cahaya yang sama.

Seperti yang Anda lihat, produk dalam ini tidak pasti positif karena kehadiran dimensi waktu yang diskalakan oleh kecepatan cahaya , oleh karena itu secara intuitif, ketika menangani masalah mengenai kuantitas yang diperbanyak dalam ruangwaktu, kita tidak dapat dengan mudah menerapkan teorema dalam 3 -dimensi Euclidean dimensi ke a $c$ $(3+1)$

Mungkin di luar topik, tetapi perbedaan besar lain ruang vs ruangwaktu (elliptic vs hyperbolic) adalah bahwa sebagian besar persamaan elips memodelkan keseimbangan dan ellipticity memberi kita keteraturan "baik", sementara ada semua jenis diskontinuitas dalam masalah hiperbolik (shock, rarefaction, dll).

EDIT: Saya tidak tahu ada artikel khusus tentang perbedaan selain memberi Anda definisi, berdasarkan apa yang saya pelajari sebelumnya, persamaan elips khas seperti persamaan Poisson atau elastisitas, memodelkan fenomena statis, memiliki solusi "halus" jika data dan batas domain minat adalah "halus", ini disebabkan oleh eliptisitas (atau lebih tepatnya mengatakan properti definitif positif) dari operator diferensial yang mengatur, jenis persamaan ini membawa kita ke pendekatan tipe Galerkin yang sangat intuitif (melipatgandakan fungsi pengujian dan integrasi oleh bagian), elemen hingga kontinu khas bekerja dengan baik. Hal serupa berlaku untuk persamaan parabola seperti persamaan panas, yang pada dasarnya merupakan persamaan elips berbaris dalam waktu, memiliki properti "smoothing" yang serupa, sudut tajam awal akan dihaluskan seiring waktu,

Untuk masalah hiperbolik, biasanya berasal dari hukum konservasi, adalah "konservatif" atau "dispersif". Misalnya, persamaan adveksi linier, yang menggambarkan aliran kuantitas tertentu dengan bidang vektor, mempertahankan bagaimana kuantitas spesifik ini pada awalnya, hanya bergerak secara spasial di sepanjang bidang vektor ini, diskontinuitas akan menyebar. Persamaan Schrodinger, persamaan hiperbolik lainnya, bagaimanapun, adalah dispersif, itu adalah propagasi dari kuantitas kompleks, keadaan awal non-osilasi akan menjadi paket gelombang osilasi yang berbeda dari waktu ke waktu.

Seperti yang Anda sebutkan "time-stepping", Anda bisa berpikir kuantitas "mengalir" di "ladang" waktu dengan kecepatan tertentu sebagai kausalitas, sangat mirip dengan persamaan adveksi linier BVP, kita hanya perlu memaksakan kondisi batas inflow, yaitu, seperti apa kuantitas saat mengalir ke domain yang diminati, dan solusinya akan memberi tahu kami seperti apa kuantitas saat mengalir keluar, ide yang sangat mirip dengan setiap metode yang menggunakan loncatan waktu. Memecahkan persamaan adveksi 2D di ruang angkasa seperti memecahkan masalah propagasi satu sisi 1D dalam ruangwaktu. Untuk skema numerik, Anda dapat google tentang FEM ruangwaktu.

— Shuhao Cao
sumber

Saya harus mengatakan bahwa sebagian besar dari apa yang Anda katakan ada di atas kepala saya. Tetapi paragraf terakhir sangat menarik, dan jelas memberikan wawasan. Apakah Anda memiliki tautan ke (ruang dan ruangwaktu) vs (elips dan hiperbolik)?

— Patrick

@ Patrick Terima kasih atas minatnya, saya telah mengedit lebih banyak jawaban saya.

— Shuhao Cao

6

Sementara ada beberapa pengecualian (misalnya metode elemen hingga diskrit sepenuhnya), diskretisasi temporal umumnya menyiratkan ketergantungan berurutan yang inheren dalam aliran informasi. Ketergantungan ini membatasi algoritma semi-diskrit (BVP dalam ruang, IVP dalam waktu) untuk menghitung solusi untuk sub-masalah secara berurutan. Diskretisasi ini biasanya lebih disukai karena kesederhanaannya dan karena menawarkan analis banyak algoritma yang dikembangkan dengan baik untuk akurasi yang lebih tinggi baik dalam ruang dan waktu.

Dimungkinkan (dan lebih sederhana) untuk menggunakan perbedaan hingga dalam dimensi spasial juga, tetapi metode elemen hingga menawarkan fleksibilitas yang lebih mudah dalam jenis domain yang diinginkan (misalnya bentuk non-reguler) daripada metode beda hingga. Pilihan diskritisasi spasial yang "baik" seringkali sangat tergantung pada masalah.

— Paul
sumber