Argumen yang mudah dimengerti bahwa metode Runge – Kutta yang normal tidak dapat digeneralisasi ke SDE?

Pendekatan naif untuk memecahkan persamaan diferensial stokastik (SDE) adalah:

mengambil metode Runge – Kutta multi-langkah biasa,
menggunakan diskritisasi yang cukup baik dari proses Wiener yang mendasarinya,
buat setiap langkah metode Runge – Kutta dianalogikan dengan Euler-Maruyama.

Sekarang, ini gagal pada beberapa level dan saya mengerti mengapa. Namun, sekarang saya ditugaskan untuk meyakinkan orang-orang tentang fakta ini yang memiliki sedikit pengetahuan tentang metode Runge-Kutta dan persamaan diferensial stokastik untuk memulai. Semua argumen yang saya ketahui bukanlah apa-apa yang dapat saya komunikasikan dengan baik dalam konteks yang diberikan. Oleh karena itu, saya mencari argumen yang mudah dimengerti bahwa pendekatan di atas akan gagal.

runge-kutta education stochastic-ode

— Wrzlprmft
sumber

@BiswajitBanerjee: Saya sadar akan hal ini dan saya memang tidak mengklaim bahwa saya telah memahami hal ini sedalam mungkin. Tetap saya tidak berpikir bahwa memberikan semua argumen di sini akan meningkatkan jawaban karena mereka yang dapat memberikan jawaban sadar akan hal itu. Selain itu, kasus ini agak istimewa karena menjelaskan mengapa sesuatu tidak bekerja, yang secara alami ada banyak jawaban, dimulai dengan "kami mengujinya dan gagal".

— Wrzlprmft

Saya tidak berbicara tentang para ahli tentang ODE stokastik tetapi pembaca rata-rata yang memahami variabel acak dan RK ketika saya mengatakan "kami". Namun, saya tidak akan mengganggu Anda lebih jauh jika Anda tidak ingin memberikan contoh pemikiran Anda.

— Biswajit Banerjee

Mari kita ambil persamaan diferensial stokastik:

X_{t} = f (t, X_{t}) d t + g (t, X_{t}) d W_{t}

$X_t = f(t,X_t)dt + g(t,X_t)dW_t$

Berikut adalah beberapa argumen berbeda yang mengarah pada pemahaman intuitif mengapa matematika di balik metode tingkat tinggi diperlukan. Saya akan membahas dalam hal keteraturan yang kuat, yang sama dengan mengatakan "untuk gerak Brown yang diberikan , seberapa baik integral numerik memecahkan lintasan itu?" $W(t)$

Keteraturan Persamaan

Pertama-tama, metode yang diusulkan gagal untuk memperhitungkan fakta bahwa tidak terus menerus terdiferensiasi. Sebenarnya, Anda dapat menggunakan hasil Rossler untuk menunjukkan bahwa memperluas metode RK normal seperti yang Anda sarankan akan menghasilkan metode konvergen, tetapi mereka hanya akan memiliki urutan kuat 0,5. Alasannya adalah karena mereka diturunkan menggunakan kalkulus dengan menjadi terdiferensiasi dan memiliki serangkaian Taylor. Gerakan Brown tidak dapat dibedakan, dan sebaliknya memiliki kontinuitas Pemegang as $X_t$ $X_t$ $\alpha < 0.5$

Namun, seperti dalam teori perturbasi, proses yang tidak cukup teratur tidak dapat diperluas dalam hal seri Taylor, tetapi dengan keteraturan Pemegang mereka dapat diperluas dalam bentuk seri Puiseux dengan syarat , yaitu untuk gerak Brown ada ekstensi ke gagasan seri Taylor yang diperluas dalam hal seperti $\alpha$ $\alpha$ turunan. Seperti di kalkulus biasa, istilah pertama adalah "istilah linear", yaitu perubahanuntukdanuntukdan Anda mendapatkan sesuatu yang tepat. Inilah sebabnya mengapa metode, termasuk hal-hal seperti Euler-Maruyama, bertemu dengan urutan yang kuat 0,5: mereka mendapatkan istilah pertama dalam seri Taylor yang benar. Namun, syarat orde yang lebih tinggi perlu memiliki koreksi untuk fakta bahwatidak dapat dibedakan secara terus menerus, itulah sebabnya metode normal gagal melakukannya. $\frac{1}{2}$ $dt$ $\Delta t$ $dW_t$ $N(0,dt)$ $X_t$

Korelasi Seketika dan Integral Iterasi

Itu penjelasan heuristik yang cepat, tetapi ada sedikit lebih dari itu. Mari kita lihat beberapa detail lainnya. Serangkaian Taylor tidak hanya ekspansi dalam hal turunan, tetapi juga dapat dianggap sebagai jumlah yang lebih tinggi untuk diintegrasikan. adalah mengintegrasikan sekali. Tetapi jika Anda menambahkan istilah, untuk mendapatkan unit yang tepat yang perlu Anda lakukan integral ganda. mudah diintegrasikan dua kali, tetapi apa yang $X_t = X_0 + \Delta t f(t,X_t)$ $dt^2$ $dt^2$ $dW_t^i dW_t^j$ ? Ini adalah korelasi instan antara gerakan Brown. Anda perlu tahu ini untuk menghitung integral ganda. Jika Anda hanya melihat rata-rata, Anda dapat melakukannya. Tetapi dalam lintasan apa pun ada korelasi antara gerakan Brown yang berbeda dari sistem persamaan diferensial. Dengan asumsi tidak ada korelasi antara gerakan Brown adalah cara lain untuk mengkarakterisasi perluasan metode deterministik Maruyama, tetapi untuk mendapatkan istilah berikutnya dalam seri (istilah 1.0) Anda harus mendapatkan ini dengan benar. Koreksi Milstein justru menambahkan istilah korelasi ini. Ketika noise diagonal, ini setara dengan memahami bahwa tidak ada korelasi kecuali dengan dirinya sendiri, tetapi korelasi dengan diri sendiri hanyalah varian yang $dt$ , dan harus ada koreksi vs , yaitu . Ketika ada noise non-diagonal, integral ganda ini harus didekati sehingga korelasi sesaat dari gerakan Brownian diperhitungkan, dan perkiraan umum di sini adalah perkiraan Wiktorsson yang kemudian membuat simulasi noise non-diagonal jadi rumit (Karena tidak ada solusi analitis bahkan untuk integral ganda). $dW_t^2$ $dt$ $dW^2 - dt$

Efek Rata-Rata Difusi

$\mathcal{O}(\Delta t)$ $g$

$g$ $g$ $X_t$ $dW_t$ $dW_t$ $\sqrt{\Delta t}$ $g(t,X_t)$

\frac{g (t + Δ t, X_{t + Δ t}) - g (t, X_{t})}{\sqrt{Δ t}}

$\frac{g(t+\Delta t,X_{t+\Delta t}) - g(t,X_t)}{\sqrt{\Delta t}}$

$X_{t + \Delta t} = X_t + g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$

$g$ $X_t$ $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$ $c_i$ $X_{t + c_i\Delta t}$ $g(t,X_t)\sqrt{c_i \Delta t}$ $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$

Kesimpulan

$\mathcal{O}(\Delta t)$ $\mathcal{O}(\sqrt{\Delta t})$

Tentu saja, dalam beberapa keadaan ada cara untuk menemukan generalisasi yang tepat yang memang memberikan metode urutan yang lebih tinggi, tetapi saya akan meninggalkan ini sebagai utas yang menggantung karena itulah satu poin dari makalah yang akan saya kirimkan segera. Semoga ini membantu.

— Chris Rackauckas
sumber