Apa kriteria untuk memilih antara perbedaan hingga dan elemen terbatas

Saya terbiasa memikirkan perbedaan hingga sebagai kasus khusus elemen hingga, pada grid yang sangat terbatas. Jadi, bagaimana kondisi bagaimana memilih antara Metode Perbedaan Hingga (FDM) dan Metode Elemen Hingga (FEM) sebagai metode numerik?

Di sisi Metode Perbedaan Hingga (FDM), orang dapat menghitung bahwa mereka secara konsep lebih sederhana dan lebih mudah diimplementasikan daripada Metode Elemen Hingga (FEM). FEM memiliki manfaat menjadi sangat fleksibel, misalnya, kisi-kisi mungkin sangat tidak seragam dan domain mungkin memiliki bentuk yang sewenang-wenang.

Satu-satunya contoh yang saya tahu di mana FDM ternyata lebih unggul daripada FEM adalah di Celia, Bouloutas, Zarba , di mana manfaatnya adalah karena metode FD menggunakan diskritisasi turunan waktu yang berbeda, yang, bagaimanapun, dapat diperbaiki untuk metode elemen hingga .

Dimungkinkan untuk menulis metode beda hingga yang paling spesifik sebagai metode elemen hingga Petrov-Galerkin dengan beberapa pilihan rekonstruksi lokal dan kuadratur, dan sebagian besar metode elemen hingga juga dapat ditunjukkan secara aljabar setara dengan beberapa metode beda hingga. Oleh karena itu, kita harus memilih metode berdasarkan kerangka analisis mana yang ingin kita gunakan, terminologi mana yang kita suka, sistem mana untuk ekstensibilitas yang kita sukai, dan bagaimana kita ingin menyusun perangkat lunak. Generalisasi berikut ini berlaku di sebagian besar variasi dalam penggunaan praktis, tetapi banyak poin dapat dielakkan.

Perbedaan Hingga

Pro

• implementasi bebas quadrature yang efisien
• independensi rasio aspek dan konservasi lokal untuk skema tertentu (mis. MAC untuk aliran yang tidak dapat dimampatkan)
• metode transportasi nonlinier yang kuat (mis. ENO / WENO)
• M-matrix untuk beberapa masalah
• prinsip maksimum diskrit untuk beberapa masalah (misalnya perbedaan hingga mimesis)
• matriks massa diagonal (biasanya identitas)
• residu nodal yang murah memungkinkan multigrid nonlinear efisien (FAS)
• perokok Vanka yang bijaksana memberikan smoothers bebas matriks yang efisien untuk aliran yang tidak dapat dikompres

Cons

• lebih sulit untuk menerapkan "fisika"
• grid terhuyung-huyung kadang-kadang cukup teknis
• lebih tinggi dari urutan kedua pada grid tidak terstruktur sulit
• tidak ada ortogonalitas Galerkin, sehingga konvergensi mungkin lebih sulit untuk dibuktikan
• bukan metode Galerkin, sehingga diskretisasi dan adjoints tidak bolak-balik (relevan dengan optimasi dan masalah terbalik)
• masalah self-adjoint kontinum sering menghasilkan matriks non-simetris
• solusinya hanya ditentukan secara pointwise, sehingga rekonstruksi di lokasi sewenang-wenang tidak didefinisikan secara unik
• kondisi batas cenderung rumit untuk diterapkan
• koefisien terputus biasanya membuat metode urutan pertama
• stensil tumbuh jika fisika mencakup "istilah silang"

Elemen hingga

Pro

• Galerkin orthogonality (solusi diskrit untuk masalah koersif adalah dalam konstan dari solusi terbaik di ruang)
• fleksibilitas geometris sederhana
• diskontinyu Galerkin menawarkan algoritma transportasi yang kuat, pesanan acak pada grid yang tidak terstruktur
• ketidaksamaan entropi seluler menjamin kestabilan memegang independen dari mesh, dimensi, urutan akurasi, dan adanya solusi diskontinyu, tanpa memerlukan pembatas nonlinier$L^2$
• mudah menerapkan syarat batas
• dapat memilih pernyataan konservasi dengan memilih ruang uji
• discretization and adjoints commute (untuk metode Galerkin)
• fondasi yang elegan dalam analisis fungsional
• Pada tingkat tinggi, kernel lokal dapat mengeksploitasi struktur produk tensor yang hilang dengan FD
• Lobatto quadrature dapat membuat metode menghemat energi (dengan asumsi integrator waktu symplectic)
• akurasi pesanan tinggi bahkan dengan koefisien terputus-putus, selama Anda dapat menyelaraskan ke batas
• koefisien terputus-putus di dalam elemen dapat ditampung dengan XFEM
• mudah untuk menangani berbagai kondisi informasi

Cons

• banyak elemen mengalami kesulitan pada rasio aspek tinggi
• FEM terus menerus memiliki masalah dengan transportasi (SUPG difusif dan berosilasi)
• DG biasanya memiliki lebih banyak derajat kebebasan untuk akurasi yang sama (walaupun HDG jauh lebih baik)
• FEM terus menerus tidak memberikan masalah nodal yang murah, sehingga smoothers nonlinier memiliki konstanta yang jauh lebih buruk
• biasanya lebih banyak nonzero dalam matriks rakitan
• harus memilih antara matriks massa konsisten (beberapa properti bagus, tetapi memiliki inversi penuh, sehingga membutuhkan penyelesaian implisit per langkah waktu) dan matriks massa disamakan.

Pertanyaan ini mungkin terlalu luas untuk memiliki jawaban yang bermakna. Kebanyakan orang yang menjawab hanya akan terbiasa dengan beberapa himpunan bagian dari semua jenis diskritisasi FD dan FE yang dapat digunakan. Perhatikan bahwa FD dan FE

• dapat diimplementasikan pada terstruktur atau tidak terstruktur grid (lihat tulisan ini hanya salah satu contoh dari metode FD pada grid tidak terstruktur)
• dapat diperluas ke urutan akurasi tinggi sewenang - wenang (dalam banyak hal!)
• dapat digunakan untuk memutuskan dalam ruang dan / atau dalam waktu , mungkin dalam kombinasi
• menggunakan fungsi basis lokal atau global (yang terakhir mengarah ke metode spektral dari tipe FD dan FE)
• dapat didasarkan pada ruang fungsi kontinu atau terputus - putus
• dapat secara spasial eksplisit atau implisit
• dapat secara eksplisit sementara atau implisit

Anda mendapatkan idenya. Tentu saja, dalam disiplin ilmu tertentu, metode FD dan FE yang biasa diterapkan dan digunakan orang mungkin memiliki fitur yang sangat berbeda. Tapi ini biasanya bukan karena keterbatasan yang melekat dari dua pendekatan diskritisasi.

Mengenai skema FD dari pesanan tinggi sewenang-wenang: koefisien dari skema FD pesanan tinggi dapat secara otomatis dihasilkan untuk pesanan apa pun; lihat buku LeVeque , misalnya. Metode kolokasi spektral, yang merupakan metode FD, akan konvergen lebih cepat daripada kekuatan jarak mesh apa pun; lihat buku Trefethen , misalnya.

Keuntungan elemen hingga (FE):

• metode variasional (misalnya energi selalu turun dengan meningkatnya "p" untuk persamaan Schroedinger, yang tidak benar untuk FD)
• akurat pada pesanan tinggi (p = 50 lebih banyak)
• sekali diimplementasikan, mudah untuk melakukan konvergensi sistematis baik dalam "p" dan "h" (sebagai lawan memiliki skema FD khusus untuk setiap pesanan)

Keuntungan dari perbedaan hingga (FD):

• lebih mudah diimplementasikan untuk pesanan yang lebih rendah
• mungkin lebih cepat dari FE untuk akurasi yang lebih rendah

Kadang-kadang orang mengatakan "perbedaan terbatas" berarti integrator untuk ODE seperti Runge-Kutta atau metode Adams. Dalam hal ini, ada keuntungan lain dari FD:

• mungkin untuk menyelesaikan ODE nonlinear secara langsung

sementara FE memerlukan beberapa iterasi nonlinier seperti metode Newton.

Beberapa balasan yang bagus telah menyatakan Kelebihan metode elemen hingga menjadi fleksibel dan kuat, di sini saya akan memberikan keuntungan lain dari FEM, dari ruang Sobolev dan sudut pandang geometri diferensial, adalah bahwa kemungkinan ruang elemen hingga mewarisi kondisi kontinuitas fisik dari Ruang Sobolev tempat solusi sebenarnya terletak.

Misalnya, elemen wajah Raviart-Thomas untuk elastisitas bidang, dan metode campuran untuk difusi; Elemen tepi Nédélec untuk elektromagnetik komputasi.

$k$$L^2$

$$H\Lambda^k = \{\omega \in \Lambda^k: \omega \in L^2(\Lambda^k), \mathrm{d} \omega \in L^2(\Lambda^k)\}$$ $\mathrm{d}$

$$\mathbb{R}^3 \xrightarrow{id}\, H(\mathbf{grad},\Omega) \xrightarrow{\nabla}\, H(\mathbf{curl},\Omega) \xrightarrow{\nabla \times}\,H(\mathrm{div},\Omega) \xrightarrow{\nabla \cdot}\, L^2(\Omega)$$

kisaran operator adalah ruang nol dari operator berikutnya, dan ada banyak properti bagus tentang ini, jika kita dapat membangun ruang elemen hingga untuk mewarisi urutan tepat de Rham ini, maka metode Galerkin berdasarkan ruang elemen hingga ini akan menjadi stabil dan akan bertemu dengan solusi nyata. Dan kita bisa mendapatkan properti stabilitas dan aproksimasi dari operator interpolasi hanya dengan diagram perjalanan dari urutan de Rham, ditambah kita bisa membangun estimasi kesalahan posteriori dan prosedur pemurnian mesh adaptif berdasarkan urutan ini.

Lebih lanjut tentang ini, silakan lihat artikel Douglas Arnold di Acta Numerica: " Kalkulus eksterior elemen terbatas, teknik homologis, dan aplikasi " dan slide singkat memperkenalkan ide

Sangat penting untuk membedakan antara skema spasial dan temporal.

Elemen hingga sering menggunakan perbedaan hingga untuk mengintegrasikan istilah temporal (misalnya Euler eksplisit, implisit, Crank-Nicholson, atau Runga Kutta untuk difusi sementara) dan elemen hingga untuk diskritisasi spasial.

Elemen hingga cocok untuk jaring yang tidak teratur. Mereka dapat didasarkan pada prinsip-prinsip variasi, tetapi mereka biasanya digeneralisasi menggunakan metode residu tertimbang. Sangat mudah untuk mengembangkan pustaka elemen yang menggunakan perintah polinomial yang berbeda dan menegakkan batasan seperti ketidakkompresan menggunakan pengganda Lagrange.

Kedua formulasi adalah sarana untuk mencapai tujuan: mengekspresikan persamaan diferensial dalam hal sistem persamaan dan aljabar linier.

Pernyataan tentang kecepatan satu metode di atas yang lain perlu dikualifikasi dengan menjelaskan algoritma. Sebagai contoh, casting masalah mekanik sebagai masalah dinamika hiperbolik dapat memberikan hasil yang lebih cepat dalam beberapa kasus, karena mereka mengganti dekomposisi matriks dengan perkalian dan penambahan.

Saya akan mengakui bahwa saya tahu lebih banyak tentang metode elemen hingga daripada perbedaan yang terbatas. FEM tersedia dalam paket komersial dan banyak digunakan di industri dan akademisi untuk menyelesaikan masalah dalam mekanika padat dan perpindahan panas. Saya percaya perbedaan hingga atau pendekatan volume hingga digunakan dalam dinamika fluida komputasi.