Matriks eksponensial dari matriks Hamilton

Biarkan menjadi nyata, kotak, matriks padat. dan simetris. Membiarkan $A, G, Q$ $G$ $Q$

H = [\begin{matrix} A & - G \\ - Q & - A^{T} \end{matrix}]

$H = \begin{bmatrix} A & -G \\ -Q &-A^T \end{bmatrix}$

menjadi matriks Hamilton. Saya ingin menghitung eksponensial matriks . Saya membutuhkan eksponensial matriks penuh, , tidak hanya produk matriks-vektor. Apakah ada algoritma atau perpustakaan khusus yang tersedia untuk menghitung eksponensial dari matriks Hamilton? $H$ $e^{tH}$

linear-algebra matrix dense-matrix

— Max Behr
sumber

Apakah Anda ingin matriks eksponensial itu sendiri, atau apakah Anda benar-benar hanya ingin memecahkan ODE

\dot{z} = H z

$\dot z = Hz$

— Daniel Shapero

Saya Membutuhkan Matriks Eksponensial itu sendiri. Tapi ekuivalen saya bisa memecahkan ODE

\dot{Z} = H Z, Z (0) = I

$\dot{Z} = H Z,\ Z(0)=I$

— Max Behr

Struktur yang mempertahankan eigensolvers Benner dapat menangani transformasi kemiripan untuk memudahkan komputasi eksponensial matriks.

— perkusi

@RichardZhang Cara brutal adalah dekomposisi QZ. Periksa misalnya mulai dari link.springer.com/article/10.1007/s002110050315 untuk detail lebih lanjut.

— perkusi

Makalah 19 Cara Meragukan untuk Menghitung Eksponensial Matriks, 25 Tahun Kemudian mencakup banyak cara buruk (dan beberapa cara yang baik) untuk menghitung eksponensial matriks. Ini tidak spesifik untuk masalah Hamiltonian tetapi tetap sangat berharga jika Anda bekerja pada masalah semacam ini.

— Daniel Shapero

Jawaban:

Jawaban yang sangat cepat ...

Eksponensial dari matriks Hamilton adalah symplectic, properti yang mungkin ingin Anda pertahankan, jika tidak, Anda hanya akan menggunakan metode pelestarian non-struktur. Memang, tidak ada keuntungan kecepatan nyata dalam menggunakan metode terstruktur, hanya pelestarian struktur.

Cara yang mungkin untuk menyelesaikan masalah Anda adalah sebagai berikut. Pertama menemukan matriks symplectic sehingga adalah Hamiltonian dan memblokir segitiga atas, dan memiliki nilai eigen di babak-pesawat kiri. Anda mendapatkan matriks ini misalnya dengan mengambil , di mana memecahkan persamaan Riccati yang terkait dengan $\hat{H}=M^{-1}HM=\begin{bmatrix} \hat{A} & -\hat{G}\\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$ $\hat{A}$ $\begin{bmatrix}I & 0\\ X & I\end{bmatrix}$ $X$ $H$ , Atau (lebih stabil karena itu ortogonal) oleh penataan kembali Schur dekomposisi dan menerapkan trik Laub (yaitu, menggantikan faktor Schur kesatuan dengan ). Anda mungkin mengalami kesulitan melakukannya jika Hamiltonian memiliki nilai eigen pada sumbu imajiner, tetapi itu adalah cerita yang panjang dan untuk saat ini saya kira itu tidak terjadi pada masalah Anda. $H$ $\begin{bmatrix}U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22}\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}U_{11} & -U_{12} \\ U_{12} & U_{11}\end{bmatrix}$

Setelah Anda memiliki , Anda memiliki , dan Anda dapat menghitung di mana memecahkan persamaan Lyapunov tertentu, saya percaya sesuatu seperti $M$ $\exp(H)=M\exp(\hat{H})M^{-1}$

\exp (\hat{H}) = [\begin{matrix} \exp (\hat{A}) & X \\ 0 & \exp (- {\hat{A}}^{T}) \end{matrix}],

$\exp(\hat{H}) = \begin{bmatrix} \exp(\hat{A}) & X\\ 0 & \exp(-\hat{A}^T) \end{bmatrix},$

X

$X$

(tanda-tanda mungkin salah; memaksakan

dan memperluas blok untuk mendapatkan persamaan yang benar. Cari "metode Schur-Parlett" untuk referensi trik ini).

\hat{A} X + X {\hat{A}}^{T} = - \exp (\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp (- {\hat{A}}^{T})

$\hat{A} X + X \hat{A}^T = -\exp(\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp(-\hat{A}^T)$

\exp (\hat{H}) \hat{H} = \hat{H} \exp (\hat{H})

$\exp(\hat{H})\hat{H}=\hat{H}\exp(\hat{H})$

Kemudian ketiga faktor tersebut bersifat simplektik. Cukup gunakan secara terpisah: jangan menghitung produk atau Anda akan kehilangan properti ini secara numerik.

— Federico Poloni
sumber

H

$H$

\tilde{H} = [\begin{matrix} \hat{A} & - G \\ 0 & - {\hat{A}}^{T} \end{matrix}]

$\tilde{H}= \begin{bmatrix} \hat{A} & -G \\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$

X_{L}

$X_L$

\hat{A} X_{L} + X_{L} {\hat{A}}^{T} = - G

$\hat{A} X_L + X_L \hat{A}^T = -G$

M_{2} = [\begin{matrix} I & X_{L} \\ 0 & I \end{matrix}]

$M_2=\begin{bmatrix} I & X_L \\ 0 & I \end{bmatrix}$

\hat{H}

$\hat{H}$

\hat{\hat{H}}

$\hat{\hat{H}}$

\hat{A}

$\hat{A}$

\hat{- A^{T}}

$\hat{-A^T}$

$\mathcal H$

$A$ $G$ $Q$ $\mathcal H$ $H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$ $A$ $G$ $Q$ berasal dari persamaan integral yang juga akan menjelaskan struktur padat dan potensi kompresi (tergantung pada kernel).

$(H-\lambda I)^{-1}$ $\mathcal H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$

$\mathcal H$

$\mathcal{H}$

$\mathcal H$ $\mathcal H$

Kelemahan dari pendekatan ini:

$A$ $G$ $Q$
tidak mengambil keuntungan dari struktur Hamilton

Positif:

representasi terkompresi dari matriks eksponensial, meskipun masih berupa matriks, bukan hanya cara untuk melakukan MVP
kompleksitas linear-logaritmik (asalkan ada asumsi peringkat rendah)
perpustakaan mungkin mengambil keuntungan dari transposisi dan simetri dalam blok

— Anton Menshov
sumber