Algoritma untuk sistem linear ODE

Saya bertanya-tanya: apa algoritma terbaik untuk menyelesaikan Di mana adalah matriks . A tidak bergantung pada waktu secara eksplisit, biasanya jarang tetapi tidak perlu terikat. Nilai eigennya memiliki bagian nyata yang tidak positif. A juga dapat didiagonalisasi tetapi mungkin terlalu besar untuk diagonalisasi penuh agar efisien secara komputasi.

\frac{d u}{d t} = A u

$\begin{equation} \frac{du}{dt} = Au \end{equation}$

A

$A$

n \times n

$n\times n$

Ada aturan trapesium tersirat yang saya punya pengalaman bagus.

(I - \frac{Δ t}{2} A) u_{n + 1} = (I + \frac{Δ t}{2} A) u_{n}

$\begin{equation} \left(I-\frac{\Delta t}{2} A\right) u_{n+1} = \left(I+\frac{\Delta t}{2} A\right) u_{n} \end{equation}$

Bagaimana dengan metode eksplisit atau pendekatan Pade? Juga, bagaimana hal ini berubah jika istilah pemaksaan ditambahkan ke RHS?

linear-algebra ode

— Gabriel Landi
sumber

Kami sangat membutuhkan informasi lebih lanjut tentang A. Bergantung pada lokasi nilai eigen, stabilitas bisa menjadi masalah yang mempengaruhi pilihan antara metode eksplisit atau implisit. Itu juga penting urutan apa yang Anda inginkan dan apakah A berbeda dalam waktu / dengan Anda, apakah Anda memerlukan pemecah yang kaku. Sebenarnya tidak ada informasi yang cukup untuk membuat jawaban berdasarkan informasi.

— Godric Seer

@GodricSeer Terima kasih Godric. Saya telah menambahkan beberapa asumsi tentang .

A

$A$

— Gabriel Landi

@GabrielLandi Anda harus menambahkan lebih banyak informasi dari itu untuk mendapatkan jawaban yang spesifik. Seberapa besar ? Apakah yang normal? Apakah nilai eigen dari nyata, imajiner, atau kompleks? Seberapa besar mereka (besarnya terbesar dan terkecil)?

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— David Ketcheson

Karena matriks Anda tidak bergantung pada , hasilnya adalah matriks yang eksponensial dengan vektor awal. Diskusi standar metode pelepasan dapat ditemukan dari http://scholar.google.at dengan mencari '' Sembilan belas cara yang meragukan ''. $u$

Untuk algoritme penskalaan dan kuadrat (yang paling meragukan), lihat juga http://blogs.mathworks.com/cleve/2012/07/23/a-balancing-act-for-the-matrix-exponential/

— Arnold Neumaier
sumber