Alternatif untuk analisis stabilitas von neumann untuk metode beda hingga

13

Saya sedang mengerjakan pemecahan persamaan poroelastisitas satu dimensi (model biot), yang diberikan sebagai:

- (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0

$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$

\frac{\partial}{\partial t} [γ p + \frac{\partial u}{\partial x}] - \frac{κ}{η} [\frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}] = q (x, t)

$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$ pada domain dan dengan syarat batas:

Ω = (0, 1)

$\Omega=(0,1)$

$p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$ di dan pada . $x=0$ $u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$ $x=1$

Saya discretized persamaan ini menggunakan skema beda hingga terpusat:

(λ + 2 μ) \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - 2 u_{i}^{t + 1} + u_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}} + \frac{p_{i + 1}^{t + 1} - p_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x} = 0

$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$

γ \frac{p_{i}^{t + 1} - p_{i}^{t}}{Δ t} + \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - u_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x Δ t} - [\frac{u_{i + 1}^{t} - u_{i - 1}^{t}}{2 Δ x Δ t}] - \frac{κ}{η} [\frac{p_{i + 1}^{t + 1} - 2 p_{i}^{t + 1} + p_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}}] = q_{i}^{t + 1}

$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$

Saat ini saya sedang mengerjakan rincian konvergensi skema dengan menganalisis konsistensi dan stabilitasnya. Bagian konsistensi tampaknya cukup mudah bagi saya, tetapi saya sudah melihat beberapa kesulitan dengan analisis stabilitas. Pertama-tama, ada dua variabel dan dua persamaan. Kedua, ada juga istilah derivatif spatiotemporal campuran dalam persamaan kedua. Saya akrab dengan analisis stabilitas von neumann dan dapat melihat bahwa akan sangat sulit untuk membangun stabilitas dengan metode ini. Apakah ada alternatif untuk analisis von neumann yang dapat saya gunakan?

— Paul
sumber

1

Jika Anda merasa tidak nyaman melakukan analisis dengan sistem persamaan, cukup bedakan persamaan pertama dengan dan yang kedua dengan . Kemudian gunakan persamaan turunan parsial campuran untuk menghilangkan .

t

$t$

x

$x$

u

$u$

— David Ketcheson

@DavidKetcheson: Menarik. Pada intinya, Anda menyarankan bahwa saya bisa mengurangi sistem untuk satu variabel dan melakukan analisis neumann von standar pada tanpa kehilangan umum ke ?

p

$p$

u

$u$

— Paul

Ini masalah yang sama, apakah Anda menulisnya sebagai sistem atau PDE skalar.

— David Ketcheson

7

Jika Anda mengganti, setidaknya untuk analisis Anda, oleh , Anda dapat menulis sistem Anda sebagai mana semua konstanta diatur ke dan di mana subskrip mengacu pada diskritisasi ruang baik dari variabel dan operator diferensial. Skema Anda kemudian diperoleh dengan mendekati melalui Euler implisit. $\frac{\partial u}{\partial x}$ $u_x$

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ I & I \end{matrix}] \frac{d}{d t} [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ - Δ_{h} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{h} (t) \\ 0 \end{matrix}] (*)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$

1

$1$

_{h}

${}_h$

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$

Sekarang struktur diferensial-aljabar (DAE) terbukti. Untuk variabel ada persamaan diferensial (dalam waktu) dan aljabar.

Jika Anda dapat menunjukkan bahwa tidak dapat dibalik, lih. pracetak ini [p. 3] dan hasil edit di bawah ini, daripada DAE dari indeks 1 atau Euler bebas dan keanehan dikenal konvergen, lihat Teorema 5.12 dalam buku ini . (Penafian: Buku ini tidak tersedia secara bebas dan ditulis oleh supervisor PhD saya) $\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

Dengan pendekatan ini, Anda mungkin menyiasati analisis stabilitas.

Untuk bukti langsung stabilitas , saya akan mencoba menggunakan Persamaan untuk menerapkan analisis stabilitas von Neumann menggunakan fungsi eigen dan menyelidiki efek pada fungsi eigen. $L^2$ $(*)$ $\Delta_h$ $\partial_h$

Namun , jika stabilitas tidak dapat ditentukan untuk , itu tidak berarti skema Anda tidak konvergen - karena substitusi dari . Secara umum, seseorang dapat mengharapkan stabilitas untuk skema yang mendekati variabel aktual, daripada skema yang mendekati turunannya. $(*)$ $u\leftarrow u_x$

LAMPIRAN: DAE dikatakan indeks 1, jika dapat diubah menjadi ODE tanpa membedakan persamaan.

Katakanlah, DAE adalah dalam bentuk Maka invertibilitas dari menyiratkan, bahwa ada transformasi variabel yang akhirnya menukar kolom dari koefisien sehingga dengan invertible (properti peringkat penuh ) dan dapat dibalik (komplemen Schur).

[\begin{matrix} E_{1} \\ 0 \end{matrix}] \dot{y} + [\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] y = f .

$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$

\tilde{y} \to y

$\tilde y \to y$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] \to [\begin{matrix} {\tilde{E}}_{11} & {\tilde{E}}_{12} \\ {\tilde{A}}_{21} & {\tilde{A}}_{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$

{\tilde{A}}_{22}

$\tilde A_{22}$

A_{2}

$A_2$

{\tilde{A}}_{11} - {\tilde{E}}_{12} {\tilde{A}}_{22}^{- 1} {\tilde{A}}_{21}

$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$

Untuk sistem ini berarti bagian aljabar yang didefinisikan dengan dapat digunakan untuk menyelesaikan bagian dari . Kemudian, seseorang dapat menghilangkan dari bagian diferensial (baris blok kedua di ), untuk mendapatkan ODE untuk variabel yang tersisa. $(*)$ $A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$ $\tilde y_2$ $(p_h,u_{x,h})$ $\frac{d}{dt}\tilde y_2$ $(*)$

— Jan
sumber

Ini adalah teknik yang sangat menarik. Saya melihat kertas yang Anda referensikan, dan saya ingin tahu bagaimana Anda menyimpulkan bahwa harus tidak dapat dibalik . Teorema mana yang Anda pakai?

[\begin{array}{cc} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ I & I \end{array}]

$\left[\begin{array}{cc}-\partial_h &\partial_h\\ I & I \end{array}\right]$

— Paulus

@ Paul Saya tidak menemukan teorema untuk referensi, jadi saya akan memasukkan argumen ke dalam jawaban saya ...

— Jan

4

Saya tidak terbiasa dengan persamaan yang diberikan di sini, tapi saya ingat belajar metode lain untuk memeriksa stabilitas skema numerik dalam tugas kuliah saya. Ini dikenal sebagai analisis Modifikasi Persamaan.

Ini referensi yang bagus untuk itu,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

Dalam referensi di atas, hubungan antara teori stabilitas berdasarkan analisis Modifikasi Persamaan dan analisis stabilitas Von Neumann dibuat.

Setelah sedikit pencarian online, saya menemukan referensi berikut,

Makalah ini membahas pemodelan beda hingga dari persamaan poroelastik Biot pada frekuensi seismik. Ini memiliki bagian tentang stabilitas skema numerik juga.

Makalah ini menyajikan strategi solusi decoupling sistem digabungkan, dan memeriksa stabilitas skema numerik.

— Subodh
sumber

Saya belum melakukan analisis persamaan yang dimodifikasi pada persamaan di atas, tetapi ketika pertanyaan itu meminta alternatif untuk analisis Von Neumann, saya menulis jawaban di atas. Sangat mungkin bahwa itu tidak menjawab pertanyaan. Tetapi seseorang mungkin menemukan referensi yang terdaftar berguna dalam pekerjaannya.

— Subodh

Terima kasih untuk referensi! Saya dapat melihat bahwa formulir yang diperlukan dalam makalah Analisis Persamaan Modifikasi Anda tidak cukup sesuai dengan persamaan yang saya gunakan, tetapi cukup menarik untuk mempelajari teknik analisis baru!

— Paulus