Bagaimana keadaan prekondisi polinomial saat ini?

Saya ingin tahu apa yang terjadi pada prekondisi polinomial. Saya tertarik pada mereka, karena mereka tampak relatif elegan dari perspektif matematika, tetapi sejauh yang saya baca dalam survei tentang metode krylov, mereka umumnya berkinerja sangat buruk sebagai prekondisi. Dalam kata-kata Saad dan van der Host, "Minat saat ini dalam teknik-teknik ini telah hilang" (Di Sini) . Namun demikian, telah ada kegunaan untuk perhitungan multicore dan GPU di masa lalu.

Adakah yang bisa memberi tahu saya atau lebih tepatnya menjelaskan kepada saya dalam konteks mana metode-metode ini masih hidup, dan di mana menemukan survei yang bagus tentang keadaan terkini?

Untuk melakukan secara wajar, prekondisi polinomial perlu perkiraan spektral yang cukup akurat. Untuk masalah elips yang dikondisikan dengan buruk, nilai eigen terkecil biasanya dipisahkan sehingga metode seperti Chebyshev jauh dari optimal. Sifat paling menarik dari metode polinomial adalah bahwa mereka tidak memerlukan produk dalam.

Ini sebenarnya cukup populer untuk menggunakan polinomial smoothers di multigrid. Perbedaan utama dari seorang preconditioner adalah bahwa smoother hanya seharusnya menargetkan bagian dari spektrum. Polynomial smoother saat ini adalah default dalam multigrid PETSc, misalnya. Lihat juga Adams et al, Paralel multigrid yang lebih halus: polinomial versus Gauss-Seidel (2003) untuk perbandingan.

Prekondisi polinom dapat digunakan murni untuk mengurangi frekuensi reduksi. Meskipun mereka harus dibayar kembali untuk setiap matriks, penghematan dapat signifikan pada perangkat keras di mana pengurangan mahal (umum pada superkomputer besar). Lihat McInnes, Smith, Zhang, dan Mills, Hierarchical and Nested Krylov Methods for Extreme-Scale Computing (2012) untuk informasi lebih lanjut tentang ini.