Mengapa menyematkan titik untuk menghapus ruang nol yang buruk?

Persamaan Poisson dengan semua kondisi batas Neumann memiliki ruang nol dimensi konstan tunggal. Ketika menyelesaikan melalui metode Krylov, ruang nol dapat dihapus baik dengan mengurangi rata-rata solusi setiap iterasi atau dengan menyematkan nilai satu titik.

Menyematkan satu titik memiliki manfaat kesederhanaan, dan juga menghindari pengurangan global tambahan per proyeksi. Namun, ini biasanya dipandang buruk karena efeknya pada pengkondisian. Karena itu, saya selalu mengurangi artinya.

Namun, kedua metode ini berbeda satu sama lain dengan paling banyak koreksi peringkat 2, sehingga menurut (1) mereka harus bertemu dalam jumlah iterasi yang hampir sama (setidaknya dalam aritmatika yang tepat). Apakah alasan ini benar, atau adakah alasan tambahan bahwa pinning point itu buruk (mungkin aritmatika yang tidak tepat)?

(1): Bagaimana modifikasi peringkat rendah mempengaruhi konvergensi metode Krylov?

Argumen Anda berlaku secara alami untuk kasus tanpa syarat. Alasan mengapa saya tidak merekomendasikan pemasangan adalah karena membingungkan norma dan prasyarat. Jika Anda mengetahui ukuran dari nilai diagonal tipikal, Anda dapat mengatur skala persamaan sepele untuk simpul yang disematkan sehingga norma menjadi masuk akal lagi.

Untuk melihat konsekuensi pada prakondisi, kita harus membedakan antara berbagai metode penegakan pinning. Saya menganggap dua yang paling populer.

1. Jika pinning dicapai dengan "zeroing a row" (pengaturan baris sama dengan baris skala identitas), itu memperkenalkan asimetri yang membatasi pilihan metode Krylov dan dapat membingungkan prekondisi (misalnya membuat multigrid aljabar memilih agregat yang buruk).
2. Jika kolom yang sesuai juga memusatkan perhatian (dengan kontribusi "diangkat" ke sisi kanan), efeknya cukup jinak.

Perhatikan bahwa operator interpolasi untuk multigrid mungkin harus disesuaikan untuk melakukan penyematan dengan cara yang kompatibel pada setiap level. Jika Anda tidak keberatan dengan kerumitan yang diperkenalkan dengan menerapkan pinning dengan penskalaan yang baik, itu adalah pendekatan yang bagus. Dalam kebanyakan kasus, kami menemukan bahwa itu lebih intrusif dan rawan kesalahan untuk menerapkan pinning dengan cara yang tidak mengganggu daripada menyediakan ruang hampir nol. Dengan memiliki matriks asli (tunggal) di sekitar, perpustakaan solver juga dapat memverifikasi bahwa ruang nol yang disediakan memang ruang nol, sehingga melindungi terhadap kesalahan umum.