Metode integrasi waktu mana yang harus kita gunakan untuk PDE hiperbolik?

Jika kita menggunakan Metode Garis untuk diskritisasi (waktu dan ruang terpisah diskritisasi) PDE hiperbolik yang kita peroleh setelah diskritisasi spasial dengan metode numerik favorit kita (fx. Metode Volume Hingga) dalam praktiknya pemecah ODE mana yang kita gunakan untuk diskretisasi temporal (TVD / SSP / dll)?

Beberapa informasi tambahan ditambahkan: Masalah akurasi dapat menjadi masalah untuk masalah yang tidak mulus. Telah diketahui bahwa PDE hiperbolik nonlinear dapat menyebabkan guncangan dalam waktu yang terbatas meskipun solusi awalnya halus di mana akurasi kasus dapat menurun ke urutan pertama untuk metode tingkat tinggi.

Analisis Stabilitas ODE biasanya dilakukan berdasarkan linierisasi untuk mendapatkan sistem ODE semi-diskrit linear dari bentuk q_t = J q (dengan vektor perturbasi qa), di mana nilai eigen J harus ditingkatkan dalam wilayah stabilitas absolut waktu yang dipilih- metode melangkah. Strategi alternatif adalah dengan menggunakan pseudospectra atau mungkin metode energi untuk analisis stabilitas.

Saya memahami bahwa motivasi untuk metode TVD / SSP adalah untuk menghindari osilasi palsu yang disebabkan oleh metode yang melangkah waktu yang dapat mengakibatkan perilaku yang tidak fisik. Pertanyaannya adalah apakah pengalaman menunjukkan jenis metode penginjilan waktu ini lebih unggul dibandingkan, misalnya, kuda kerja klasik sebagai Metode Runge-Kutta eksplisit atau yang lainnya. Jelas, mereka harus memiliki sifat yang lebih baik untuk kelas masalah di mana solusi dapat menunjukkan guncangan. Karena itu orang dapat berargumen bahwa kita hanya boleh menggunakan metode-metode jenis ini untuk integrasi waktu.

Saya tidak tahu apakah Anda masih tertarik pada jawaban, tapi begini saja:

Anda sudah mengatakan Anda tahu tentang pembentukan kejutan dalam persamaan nonlinier. Itulah mengapa Anda harus memilih integrator waktu Anda dengan cermat. Tidak ada gunanya menerapkan diskritisasi spasial TVD ketika diskretisasi waktu tidak - Anda akan melihat osilasi yang sama yang mungkin Anda lihat dengan fluks numerik tingkat tinggi.

Apa intinya adalah bahwa Euler maju bekerja. Anda telah menyebutkan SSP (pelestarian stabilitas yang kuat) dalam pertanyaan Anda. Ini adalah kelas khusus metode Runge-Kutta yang memanfaatkannya. Pada dasarnya, Anda harus memilih koefisien metode sedemikian rupa sehingga dapat ditulis sebagai kombinasi cembung langkah Euler. Dengan begitu, properti seperti TVD dan semacamnya akan dipertahankan.

Ada buku yang sangat bagus tentang metode SSP oleh Gottlieb, Ketcheson, dan Shu yang disebut "Pelestarian Stabilitas Kuat Runge-Kutta dan Diskretisasi Multistep Waktu" link amazon

Ya itu penting. Dua hal biasa yang harus diperhatikan:

1. Ketepatan. Beberapa skema ODE lebih akurat daripada yang lain, urutan lebih tinggi, dan sebagainya. Aturan praktisnya adalah memilih metode dengan urutan akurasi yang mirip dengan diskritisasi spasial Anda.

2. Stabilitas. Untuk masalah hiperbolik Anda mengharapkan operator memiliki nilai eigen imajiner murni, jadi Anda menginginkan pemecah ODE yang mencakup beberapa bagian dari akses imajiner dalam domain stabilitasnya. Lihat misalnya Lampiran G dalam Fornberg, Panduan Praktis untuk Metode Pseudospectral.

Dengan persamaan hiperbolik, beberapa orang ingin memastikan bahwa solusi mereka selalu positif, sehingga ada berbagai jenis filter dan trik untuk memastikan ini. Tapi saya hampir tidak tahu apa-apa tentang ini.

Saya jauh dari ahli, tetapi saya pikir saya akan mencoba menjawab karena pertanyaannya sudah ada di sini untuk sementara waktu.