Diskritisasi spasial apa yang berfungsi untuk aliran yang tidak dapat dikompres dengan jerat batas anisotropik?

Aliran bilangan Reynolds yang tinggi menghasilkan lapisan batas yang sangat tipis. Jika resolusi dinding digunakan dalam Simulasi Eddy Besar, rasio aspek mungkin berada di urutan . Banyak metode menjadi tidak stabil dalam rezim ini karena konstanta inf-sup menurun sebagai akar kuadrat dari rasio aspek atau lebih buruk. Konstanta inf-sup penting karena mempengaruhi jumlah kondisi sistem linier dan sifat aproksimasi larutan diskrit. Secara khusus, berikut ini a priori terikat pada penahan kesalahan diskrit (Brezzi dan Fortin 1991) $10^6$

\begin{aligned} μ ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq C [\frac{μ}{β} inf_{v \in V} ‖ u - v ‖_{H^{1}} + inf_{q \in Q} ‖ p - q ‖_{L^{2}}] \\ ‖ p - p_{h} ‖_{L^{2}} \leq \frac{C}{β} [\frac{μ}{β} inf_{v \in V} ‖ u - v ‖_{H^{1}} + inf_{q \in Q} ‖ p - q ‖_{L^{2}}] \end{aligned}

$\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q\in \mathcal Q} \lVert{p-q}\rVert_{L^2} \right] \end{split}$

di mana $\mu$ adalah viskositas dinamis dan $\beta$ adalah konstanta inf-sup. Dari ini kita melihat bahwa sebagai $\beta \to 0$ , kecepatan dan (terutama) perkiraan tekanan menjadi lebih buruk daripada yang terbaik yang tersedia di ruang elemen hingga (yaitu konstanta optimalitas Galerkin tumbuh sebagai $\beta^{-1}$ dan $\beta^{-2}$ masing-masing).

Metode apa saja yang memiliki stabilitas informasi seragam yang tidak tergantung pada rasio aspek?

Manakah dari ini dapat digunakan dengan jerat tidak terstruktur?

Bagaimana perkiraan tersebut digeneralisasi ke perkiraan tingkat tinggi?

— Jed Brown
sumber

Skema beda hingga MAC (Harlow dan Welch 1965) stabil secara seragam, tetapi membutuhkan grid terstruktur halus dan hanya urutan kedua yang akurat.

Metode elemen hingga lebih disukai untuk metode tidak terstruktur dan tingkat tinggi. Untuk metode elemen hingga Galerkin terus menerus, tidak ada ruang yang diketahui yang memiliki sifat aproksimasi optimal dan stabil secara seragam.

$Q_k-P_{k-1}^{\mathrm{disc}}$ memiliki sifat aproksimasi optimal dan konservatif secara lokal, tetapi konstanta inf-sup terdegradasi sebagai akar kuadrat dari rasio aspek. Lihat Bernardi & Maday 1999 untuk detailnya.
$Q_k-Q_{k-2}^{\mathrm{disc}}$ memiliki konstanta inf-sup independen dari rasio aspek dan konservatif secara lokal, tetapi konstanta inf-sup berskala sebagai sebagai urutan polinomial meningkat (Maday et al. 1992) dari jerat-bentuk biasa. Pada jerat dengan simpul gantung atau sudut reentran, batas ini tajam dalam 2D (Schoetzau et al 1998), tetapi selanjutnya terdegradasi ke dalam 3D (Toselli & Schwab 2003). $\mathcal{O}\left(k^{\frac{1-d}{2}}\right)$ $k^{-3/2}$
Unsur nonconforming diputar dari Rannacher & Turek 1994 stabil secara seragam, memiliki sifat perkiraan yang optimal, dan konservatif secara lokal, tetapi tidak memenuhi ketidaksetaraan Korn yang terpisah, sehingga diperlukan koreksi batas untuk beberapa kondisi batas dan tidak dapat digunakan untuk variabel viskositas mengalir. Pekerjaan selanjutnya oleh penulis telah menstabilkan metode ini menggunakan fluks tepi, tetapi diskritisasi yang dihasilkan kehilangan banyak sifat efisiensi yang menarik. $Q_1-P_0$
Ainsworth dan Coggins 2000 membangun ruang yang sangat teknis yang sedikit lebih baik, tetapi tampaknya utilitas terbatas.

Untuk Galerkin terputus-putus, gambarnya agak lebih baik:

Ruang diskontinyu seragam stabil dan memiliki sifat perkiraan optimal (Schoetzau, Schwab, dan Toselli 2004). Kombinasi ini tidak tersedia dengan ruang kecepatan kontinu. Konstanta inf-sup masih tergantung pada derajat polinomial, namun, penskalaan sebagai . $Q_k-Q_{k-1}$ $k^{-3/2}$

— Jed Brown
sumber