Pemecah PDE untuk difusi-Drift dan model terkait

Saya mencoba mensimulasikan model semikonduktor dasar untuk keperluan pedagogis - mulai dari model difusi-Drift. Meskipun saya tidak ingin menggunakan simulator semikonduktor off-the-shelf - saya akan belajar model lain (umum, baru-baru ini atau tidak jelas), saya ingin menggunakan pemecah PDE off-the-shelf.

Tetapi bahkan untuk kasus 1D sederhana, model difusi drift terdiri dari sejumlah PDE nonlinier yang dipasangkan:

Persamaan kepadatan saat ini

J_{n} = q n (x) μ_{n} E (x) + q D_{n} \nabla n

$J_n = q n(x) \mu_n E(x) + qD_n \nabla n$

J_{p} = q p (x) μ_{p} E (x) + q D_{p} \nabla p

$J_p = q p(x) \mu_p E(x) + qD_p \nabla p$

Persamaan kontinuitas

\frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_{n} + U_{n}

$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_n + U_n$

\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_{p} + U_{p}

$\frac{\partial{p}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_p + U_p$

Persamaan Poisson

\nabla \cdot (ϵ \nabla V) = - (p - n + N_{D}^{+} - N_{A}^{-})

$\nabla \cdot (\epsilon \nabla V) = -(p - n + N_D^+ - N_A^-)$

dan sejumlah syarat batas.

Saya telah mencoba beberapa pemecah FEM python, FEniCS / Dolfin dan SfePy , tetapi tidak berhasil, karena tidak dapat memformulasikannya dalam bentuk variasi yang lemah dengan fungsi tes.

Tentu saja ada opsi untuk mengimplementasikan solusi numerik dari awal tetapi saya belum mempelajari FEM / Numerik secara mendalam, jadi saya harap ini bukan satu-satunya pilihan saya karena saya tidak ingin kewalahan dengan masalah numerik.

Jadi apakah ada paket (pref. Open source) yang akan mengambil persamaan ini, dalam bentuk itu, dan menyelesaikannya? Atau mungkin bentuk variasi yang dibutuhkan oleh alat tidak sesulit itu? Bagaimanapun, apa saja pilihan saya?

Terima kasih

Sunting: Upaya merumuskan bentuk variasi yang lemah untuk FEniCS / Dolfin atau SfePy

Menggunakan tiga PDE (Poisson + dua persamaan kontinuitas dengan J tersubstitusi), kami mencari V, n, dan p. Persamaan Poisson (menggunakan fungsi tes ) lurus ke depan. Namun saya mengalami kesulitan dengan persamaan kontinuitas. $u_V$

PDE kedua (bentuk kuat) mana adalah konstanta, adalah fungsi skalar

\frac{\partial n}{\partial t} = \nabla \cdot (C_{1} n \nabla V + C_{2} \nabla n) + U

$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \nabla \cdot (C_1 n \nabla V +C_2\nabla n) + U$

C_{1}, C_{2}

$C_1, C_2$

U, n, p, V

$U, n, p, V$

Biarkan menunjukkan fungsi tes untuk PDE kedua. Kemudian $f_n$

\int_{Ω} f_{n} \frac{n - n_{1}}{Δ t} d Ω - C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω - C_{2} \int_{Ω} f_{n} \nabla^{2} n d Ω - \int_{Ω} f_{n} U d Ω

$\int_{\Omega}f_n\frac{n - n_1}{\Delta t}d\Omega - C_1 \int_{\Omega}f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega - C_2 \int_{\Omega}f_n \nabla^2 n d\Omega - \int_{\Omega}f_n U d\Omega$

Terutama yang mengkhawatirkan adalah integral:

C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω

$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega$

Tetapi adalah vektor, dan adalah skalar. Kemudian gunakan identitas $\mathbf{\nabla V}$ $V, u_n, n$ $\nabla \cdot \phi \mathbf{A} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla \phi} + \phi \nabla \cdot \mathbf{A}$

C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω = C_{1} \int_{Ω} f_{n} (\nabla V \cdot \nabla n) + C_{1} \int_{Ω} f_{n} n \nabla \cdot \nabla V

$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega = C_1 \int_{\Omega} f_n (\nabla V \cdot \nabla n) + C_1 \int_{\Omega} f_n n \nabla \cdot \nabla V$

Karena V diselesaikan dengan persamaan Poisson, dapatkah kita menggunakan nilai yang dihitung baru-baru ini sebagaimana diizinkan dalam perangkat lunak Dolfin / FEniCS dan menyederhanakan cara kita memperlakukan V dalam persamaan gabungan kedua ini? Jenis-jenis teknik ini berfungsi dengan baik ketika melakukan diskritisasi (mis. Gummel, ...), yang tidak saya lakukan pada pemecah yang sudah siap!

Juga syarat batas diberikan dalam bentuk bukan , bagaimana Anda menerapkan ini? Haruskah saya memecahkan lima variabel , meskipun ditentukan oleh V dan n? $J_n$ $n$ $J_n, J_p, n, p, V$ $J_n$

pde

— Weaam
sumber

Mengapa kamu tidak bisa menuliskan bentuknya yang lemah?

— Bill Barth

@ BillBarth Saya mengedit pertanyaan saya, silakan lihat. Terima kasih.

— Weaam

Integrasi Anda dengan bagian salah. Periksa rumus, ada tanda-tanda yang hilang, Anda memiliki lebih banyak turunan di sebelah kanan daripada di sebelah kiri, dan Anda lupa tentang integral batas.

— Wolfgang Bangerth

Juga, apakah ada alasan Anda menggunakan produk titik untuk mewakili perkalian dengan ? Ini skalar, bukan?

u_{n}

$u_n$

— Bill Barth

Ya, saya seharusnya lebih berhati-hati. Silakan periksa edit saya, terutama pertanyaan saya tentang bagaimana kami memperlakukan V karena seharusnya sudah diselesaikan oleh PDE sebelumnya. Apakah ini berpengaruh pada bentuk variasi? Terima kasih.

— Weaam

Formulasi Scharfetter-Gummel (SG) umumnya digunakan untuk menyelesaikan persamaan kerapatan saat ini. Ini adalah formulasi khusus yang mengatasi kesulitan dalam menyelesaikan ketergantungan nonlinear antara kepadatan potensial dan arus.

Teks standar yang membahas bagaimana persamaan ini menggunakan metode integrasi kotak ada dalam buku ini: Selberherr, S., Analisis dan simulasi perangkat semikonduktor. Springer-Verlag 1984

Jenis simulasi ini disebut Technology Computer Aided Design (TCAD). Berbeda dengan Metode Elemen Hingga (FEM), Metode Volume Hingga (FVM) digunakan untuk menghitung arus. Ini karena cocok dengan formulasi SG yang telah ditunjukkan (oleh praktisi metode ini) untuk bekerja ketika menyelesaikan persamaan kepadatan saat ini.

Jika Anda ingin menyelesaikan ini dengan menggunakan PDE umum, COMSOL memiliki Modul Semikonduktor yang memecahkan masalah ini menggunakan metode FEM / FVM hybrid.

Selain itu, simulator TCAD komersial dan open source tercantum di sini: http://www.tcadcentral.com

Setahu saya, general-PDE TCAD solver adalah DEVSIM, FLOOPS, PROPHET. Alat komersial cenderung memiliki sebagian besar persamaan fisik yang dikodekan dalam bahasa yang dikompilasi seperti C ++.

— Juan
sumber

Saya minta maaf atas jawaban yang sangat terlambat. Saya menyadari bahwa aplikasi langsung DD (bahkan dengan SG) cukup tidak stabil (implementasi saya di Fenics setidaknya), jadi saya meninggalkannya. Dalam kursus VLSI nanti, saya memang menggunakan alat Comsol dan TCAD. Terima kasih atas jawaban komprehensif Anda.

— Weaam