grid seragam vs tidak seragam

16

Ini mungkin pertanyaan tingkat siswa tetapi saya tidak bisa membuatnya jelas untuk diri saya sendiri. Mengapa lebih akurat menggunakan kisi-kisi tidak seragam dalam metode numerik? Saya berpikir dalam konteks beberapa metode beda hingga untuk PDE dari bentuk . Dan anggap saya tertarik pada solusi pada titik . Jadi, saya dapat melihat bahwa jika saya memperkirakan turunan kedua, misalnya pada grid yang seragam menggunakan pendekatan tiga titik, kesalahannya adalah urutan kedua . Lalu saya bisa membuat grid yang tidak seragam melalui pemetaan dan mencari koefisien untuk tiga poin yang digunakan untuk memperkirakan turunannya. Saya bisa melakukan ekspansi Taylor dan mendapatkan lagi batas untuk turunannya menjadi urutan kedua , di mana $u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$ $x^{\ast}$ $O(h^2)$ $O(h^2)$ $h$ adalah jarak pada grid seragam dari mana saya mendapatkan pemetaan ke grid tidak seragam. Kedua estimasi mengandung derivatif dan tidak jelas bagi saya mengapa solusi akan lebih akurat pada grid yang tidak seragam karena tergantung pada besarnya derivatif yang sesuai dalam estimasi kesalahan?

pde finite-difference

— Kamil
sumber

19

Dasar pemikiran untuk jerat yang tidak seragam berjalan seperti ini (semua persamaan dipahami sebagai kualitatif, yaitu, secara umum benar tetapi tanpa pretensi dapat dibuktikan demikian dalam semua keadaan dan untuk semua persamaan atau semua kemungkinan diskritisasi):

‖ kamu - {kamu}_{h} ‖_{{L.}^{2} (Ω)} \leq C h_{maks}^{2} ‖ \nabla^{2} kamu ‖_{{L.}^{2} (Ω)},

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$

‖ kamu - {kamu}_{h} ‖_{{L.}^{2} (Ω)}^{2} \leq C h_{maks}^{4} ‖ \nabla^{2} kamu ‖_{{L.}^{2} (Ω)}^{2} .

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$

‖ kamu - {kamu}_{h} ‖_{{L.}^{2} (Ω)}^{2} \leq C \sum_{K \in T} h_{K}^{4} ‖ \nabla^{2} kamu ‖_{{L.}^{2} (K)}^{2} .

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$

K

$K$

T

$\mathbb T$

h_{max}

$h_\text{max}$ . Alih-alih, strategi yang paling efisien adalah menyeimbangkan kontribusi kesalahan - dengan kata lain, Anda harus memilih Dengan kata lain, ukuran mesh lokal harus kecil di mana solusinya kasar (memiliki turunan besar) dan besar di mana solusinya halus, dan rumus di atas memberikan ukuran kuantitatif untuk hubungan ini.

h_{K}^{4} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (K)}^{2}

$h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$

h_{K} \propto ‖ \nabla^{2} kamu ‖_{{L.}^{2} (K)}^{- 1 / 2} .

$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$

h_{K}

$h_K$

— Wolfgang Bangerth
sumber

1

Saya akan menambahkan bahwa anisotropi paling efisien diwakili dengan ruang ansot anisotrop (yaitu, anisotropik mesh). Karena anisotropi mungkin tidak selaras dengan beberapa mesh kasar awal, algoritma AMR isotropik mungkin sangat tidak efisien. Anisotropi menyebabkan beberapa masalah tambahan karena banyak metode yang tidak stabil secara seragam sehubungan dengan aspek rasio.

— Jed Brown

6

Buktikan sendiri dengan contoh ini. Apa kesalahan maksimum ketika interpolasi sqrt (x) pada interval [0,1] dengan interpolasi linear piecewise pada mesh yang seragam?

Apa kesalahan maksimum ketika interpolasi pada mesh di mana nilai n poin diberikan oleh (i / n) ^ s, dan s adalah parameter grading mesh yang dipilih dengan cermat?

— Rob Schreiber
sumber

h_{i}

$h_i$

h_{i}

$h_i$

4

$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$ $u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$ $D(x)$ $D(x)$

$u(x,0)$

— Thomas Klimpel
sumber

bisakah Anda menentukan, apa saja teknik lain yang akan Anda gunakan untuk memiliki "tampilan" yang lebih dekat pada daerah diskontinuitas pada data awal, misalnya?

— Kamil

@ Kamil Saya punya dua hal dalam pikiran di sini. Hal pertama adalah menghitung proyeksi data awal menjadi "representasi yang digunakan pada grid" dengan akurasi yang cukup. (Ini biasanya mencakup hal-hal seperti perhitungan analitik yang terlalu banyak atau sederhana pada penghentian lompatan.) Saya tahu bahwa ini hanya gaya yang baik dan terlalu sederhana untuk menyebutkannya, tetapi dalam pengalaman saya, sering kali semua yang diperlukan untuk memperbaiki masalah yang disebabkan oleh singularitas di input data.

— Thomas Klimpel

Hal lain yang saya pikirkan adalah memodelkan bagian dari data input sebagai kondisi batas. Namun, penghematan dari ini sering kurang dari faktor dua, dan kondisi batas sangat sulit untuk diperbaiki, setidaknya dalam pengalaman saya. Jadi saya akan mengatakan ini sering tidak sepadan dengan usaha untuk melakukannya dengan sempurna (atau hanya sepadan dengan usaha jika ekstensi masalah yang sesuai ke arah itu sangat kecil, atau jika Anda benar-benar ingin akurasi tinggi), dan hanya memilih kira-kira yang tepat kondisi batas dan penempatan batas yang cukup jauh seringkali bekerja dengan cukup baik.

— Thomas Klimpel

4

Kamil, penyelesaian persamaan diferensial adalah global, interpolasi adalah lokal. Dalam interpolasi polinomial piecewise, akurasi jauh dari singularitas tidak akan terganggu oleh singularitas. Sayangnya, ini sama sekali tidak benar untuk menyelesaikan persamaan elips, seperti masalah nilai batas dua poin. Singularitas akan mencemari perkiraan secara global.

Ini ada sesuatu untuk dicoba. Selesaikan D (sqrt (x) Du) pada [0,1] dengan Dirichlet bcs D yang homogen adalah operator diferensiasi. Gunakan elemen hingga atau perbedaan hingga pada mesh seragam titik-n. Bandingkan dengan mesh di mana titik ke-i adalah (1 / n) ^ 1.5. Perhatikan bahwa kesalahan terburuk untuk mesh seragam jauh dari singularitas, dan jauh lebih besar daripada mesh bertingkat.

— Rob Schreiber
sumber