Di mana saya dapat menemukan referensi yang baik untuk properti stabilitas beberapa metode penyelesaian PDE parabola?

10

Saat ini saya memiliki kode yang menggunakan algoritma Crank-Nicholson, tapi saya pikir saya ingin pindah ke algoritma tingkat tinggi untuk mencatat waktu. Saya tahu bahwa algoritma Crank-Nicholson stabil di domain yang ingin saya gunakan, tetapi saya khawatir bahwa beberapa algoritma lain mungkin tidak.

Saya tahu bagaimana cara menghitung kestabilan wilayah dari suatu algoritma, tetapi ini bisa sangat menyebalkan. Adakah yang tahu referensi bagus untuk properti stabilitas dari sejumlah besar algoritma pencatat waktu untuk PDE parabola?

pde stability parabolic-pde

— Dan
sumber

5

Favorit pribadi saya adalah buku karya John Strikwerda, "Skema Perbedaan Hingga dan Persamaan Diferensial Parsial" .

Dia memiliki perlakuan yang sangat bagus terhadap teori stabilitas dengan menggunakan analisis Fourier. Saya hanya memiliki edisi pertama, di mana dia tidak memperkenalkan gagasan tentang wilayah stabilitas. Menurut situs web SIAM, edisi kedua telah menambahkan materi ini.

— John Stockie
sumber

10

Jawaban yang sangat singkat: untuk referensi yang komprehensif, Anda tidak bisa mengalahkan Hairer dan Wanner volume II .

Jawaban singkat: Berikut ini adalah beberapa skrip MATLAB untuk memplot wilayah stabilitas multistep linier atau metode Runge-Kutta , mengingat koefisien. Anda juga bisa menggunakan paket Python nodepy (penafian: ini paket saya dan itu bukan perangkat lunak yang paling halus, tetapi merencanakan wilayah stabilitas adalah satu hal yang dilakukannya dengan sangat baik). Petunjuk untuk merencanakan kawasan stabilitas ada di sini .

Jawaban yang lebih panjang: ada tiga kelas metode yang bisa Anda minati di sini.

$A$ $A$ -stabilitas. Beberapa contoh metode tersebut adalah metode Gauss-Legendre, Radau, dan Lobatto. Semua itu sepenuhnya implisit dan karenanya agak mahal.
$A(\alpha)$ ode15s() $\alpha$
Metode eksplisit , yang perlu hanya mencakup interval terbatas pada sumbu nyata negatif. Ada metode khusus "stabil" yang eksplisit (khususnya, metode Runge-Kutta-Chebyshev ) yang memiliki daerah stabilitas poros nyata negatif yang besar dan cocok untuk masalah yang agak kaku, tetapi biasanya tidak untuk masalah parabola. Pintu masuk yang baik untuk literatur itu adalah makalah ini , yang mencakup banyak informasi tentang daerah stabilitas.

$L$ $L$

Pembaruan : Jika Anda benar - benar perlu tahu segalanya tentang topik ini, dapatkan salinan monograf Dekker dan Verwer . Ini memiliki salah satu pengantar terbaik yang ada untuk konsep-konsep seperti konstanta Lipschitz satu sisi, norma logaritmik, dan beberapa konsep stabilitas yang lebih dalam. Itu sudah tidak dicetak tetapi Anda biasanya dapat menemukan salinan bekas di Amazon (untuk harga!)

— David Ketcheson
sumber

Hairer II jelas yang terbaik. Ini mungkin satu-satunya tempat untuk menemukan adaptif PI stepsize mendapatkan menyebutkan. Tapi itu melewatkan detail penting seperti kondisi pesanan tambahan untuk metode Rosenbrock pada PDE parabola misalnya. Tentu saja tidak ada buku yang dapat memiliki segalanya, tetapi harus ada sesuatu yang lebih baik khususnya pada topik PDE parabola.

— Chris Rackauckas