Apa skema numerik yang mungkin untuk persamaan difusi dengan istilah reaksi nonlinier?

Untuk beberapa domain cembung sederhana dalam 2D, kami memiliki beberapa memenuhi persamaan berikut: dengan Dirichlet tertentu dan / atau kondisi batas Neumann. Setahu saya, menerapkan metode Newton dalam ruang elemen hingga akan menjadi cara relatif mudah untuk menyelesaikan persamaan ini secara numerik. $\Omega$ $u(x)$

- d i v (A \nabla u) + c u^{n} = f

$-\mathrm{div}(A\nabla u)+cu^n = f$

Pertanyaan saya adalah: (1) Apakah ada teori Sobolev untuk posisi yang tepat dari formulasi variasional yang sesuai dari persamaan ini dengan asumsi nol syarat batas Dirichlet? Jika demikian, ruang Banach apa yang harus kita pertimbangkan? (2) Apa saja pendekatan numerik yang mungkin untuk jenis persamaan ini?

pde finite-element

— Shuhao Cao
sumber

Dengan "pendekatan numerik yang memungkinkan", apakah Anda bertanya tentang diskritisasi atau pemecah aljabar?

— Jed Brown

Saya melihat dua pendekatan:

1) Sewenang-wenang f (u). Sederhananya f ~ f (u0) di sisi kanan persamaan, lanjutkan dengan pemecah non-linear, skema titik tetap adalah pilihan yang baik, karena bagaimanapun Anda tidak memiliki Jacobian. Paling mudah untuk diimplementasikan dan digunakan, kinerja yang paling umum, tetapi mungkin lebih rendah, karena Jacobian tidak dapat dieksploitasi (umumnya tidak diketahui).

2) f (u) didekomposisi menjadi seri (polinomial, Fourier). Lebih sulit untuk diterapkan dan digunakan, mungkin sulit / tidak mungkin untuk beberapa khusus f. Tetapi sebagai imbalannya Anda dapat menghitung dan mengeksploitasi Jacobian dalam metode mirip Newton, yang umumnya akan menghasilkan kinerja yang unggul.

— Dominik Lark
sumber

f

$f$

u

$u$

u^{n}

$u^n$

Anda harus menambahkan u ^ n ke f. Maka Anda memiliki bentuk polinomial sederhana dari istilah reaksi yang paling baik diobati dengan pendekatan 2).

— Dominik Lark