Bagaimana menurunkan Formulasi Lemah dari Persamaan Diferensial Parsial untuk Metode Elemen Hingga?

Saya telah mengambil pengantar dasar untuk Metode Elemen Hingga, yang tidak menekankan pemahaman canggih tentang 'formulasi lemah'. Saya mengerti bahwa dengan metode galerkin, kita mengalikan kedua sisi PDE (elips) dengan fungsi tes dan kemudian mengintegrasikan (dengan bagian-bagian atau dengan teorema Divergence). Kadang-kadang, saya perlu mengintegrasikan dengan bagian dua kali sebelum tiba di formulasi lemah yang sesuai (berdasarkan jawaban di belakang buku ini). Tetapi ketika saya mencoba untuk menerapkan konsep yang sama ke PDE lain (katakanlah, mereka masih independen terhadap waktu), saya tidak bisa mengenali kapan formulasi tersebut sesuai untuk diskritisasi. Adakah 'bendera merah' yang dapat memberitahu saya bahwa FORMULIR INI dapat didiskritisasi menjadi sistem persamaan linear?

Selain itu, bagaimana cara memilih serangkaian fungsi dasar yang sesuai?

Tanyakan pada diri sendiri hal-hal berikut:

Pertama, bagaimana integrasi oleh bagian-bagian mempengaruhi solvabilitas masalah, dan ruang solusi?

Kedua, untuk ruang fungsi manakah Anda dapat membangun serangkaian subruang (fungsi ansatz) yang dapat Anda terapkan?

Mari kita perhatikan masalah Poisson untuk f ∈ L 2 , katakanlah, pada [ 0 , 1 ] , dengan kondisi batas Dirichlet yang homogen. Dengan integrasi, sisi kiri dan kanan persamaan dapat dianggap sebagai fungsionalitas terbatas pada L 2 , katakanlah untuk ϕ ∈ L 2 yang kita miliki$u'' = f$$f \in L^2$$[0,1]$$L^2$$\phi \in L^2$

dan ϕ ↦ ∫ f ϕ d $\phi \mapsto \int u'' \phi dx$$\phi \mapsto \int f \phi dx$

Karena fungsi apa pun di bisa$L^2$ -approximated oleh fungsi halus dengan dukungan kompak, baik functionals terpisahkan benar-benar diketahui jika Anda hanya tahu nilai-nilai untuk semua fungsi tes. Tetapi dengan fungsi tes, Anda dapat melakukan integrasi dengan bagian-bagian, dan mengubah sisi kiri ke fungsional$L^2$

$\phi \mapsto -\int u' \phi' dx$

Baca ini sebagai: "Saya mengambil fungsi tes , menghitung diferensial, dan mengintegrasikannya dengan -u 'di atas [0,1], dan mengembalikan hasilnya kepada Anda." Tapi fungsional itu tidak didefinisikan dan dibatasi pada L 2 , karena Anda tidak dapat mengambil diferensial dari fungsi L 2 yang sewenang-wenang . Mereka mungkin terlihat sangat aneh secara umum.$\phi$$L^2$$L^2$

Namun kita amati, bahwa ini fungsional dapat diperpanjang ke Sobolev ruang , dan bahkan sebuah dibatasi fungsional pada H 1 0 . Itu berarti, mengingat ϕ ∈ H 1 0 , Anda dapat memperkirakan secara kasar nilai ∫ - u ′ ϕ ′ d x dengan kelipatan H 1 0 -norma ϕ ′ . Dan, lebih jauh, fungsi ϕ ↦ ∫ f ϕ d x , tentu saja, tidak hanya didefinisikan dan dibatasi pada L $H^1$$H_0^1$$\phi \in H_0^1$$\int -u' \phi' dx$$H_0^1$$\phi'$$\phi \mapsto \int f \phi dx$$L^2$, tetapi juga didefinisikan dan dibatasi pada .$H_0^1$

Sekarang Anda dapat, misalnya, menerapkan lemma Lax-Milgram, seperti yang disajikan dalam buku PDE apa pun. Buku elemen hingga yang menggambarkannya juga, hanya dengan analisis fungsional, misalnya buku klasik karya Ciarlet, atau buku yang agak baru oleh Braess.

Lemma Lax-Milgram memberi orang PDE alat yang bagus untuk analisis murni, tetapi mereka menggunakan alat yang lebih asing juga untuk tujuan mereka. Namun, alat-alat ini juga relevan untuk analisis numerik, karena Anda sebenarnya dapat membangun diskritisasi untuk ruang-ruang ini.

$H_0^1$$d=1,2,3,...$

$H_0^1$ ansatz spasi kata terakhir dalam diskritisasi, lihat, misalnya, metode Galerkin Terputus.)

Untuk kasus kondisi batas campuran, ruang uji alami mungkin berbeda dari ruang pencarian Anda (dalam pengaturan analitik), tetapi saya tidak tahu bagaimana menggambarkannya tanpa merujuk pada teori distribusi, jadi saya berhenti di sini. Saya harap ini bermanfaat.