Bagaimana cara memperkirakan angka kondisi dari matriks besar?

Bagaimana cara memperkirakan angka kondisi dari matriks $G$ , jika $G$ adalah kombinasi transformasi Fourier $F$ (tidak seragam atau seragam), beda hingga $R$ , dan matriks diagonal $S$ ?

Matriksnya sangat besar dan tidak disimpan dalam memori dan hanya tersedia sebagai fungsi.

Secara khusus, saya memiliki matriks berikut:

$G_\mu=S^HF^HFS+\mu R^HR$

Saya ingin menyelidiki hubungan antara dan nomor kondisi k ( G μ ) .$\mu$$k(G_\mu)$

Saya menganggap seseorang perlu semacam pendekatan berulang? Secara optimal akan ada beberapa kode MATLAB yang tersedia.

MATLAB memiliki beberapa fungsi "tepat" untuk ini, conddan rcond, dengan yang terakhir mengembalikan kebalikan dari nomor kondisi. Fungsi perkiraan Matlab condestlebih lengkap dijelaskan di bawah ini.

Seringkali perkiraan jumlah kondisi dihasilkan sebagai produk sampingan dari solusi sistem linear untuk matriks, sehingga Anda mungkin dapat mendukung perkiraan jumlah kondisi pada pekerjaan lain yang perlu Anda lakukan pula. Lihat di sini untuk deskripsi singkat tentang bagaimana estimasi dihitung. Juga dokumentasi Sandia Labs AztecOO pernyataan (lihat Sec. 3.1) yang opsional jumlah kondisi perkiraan yang tersedia dari pemecah berulang (menggunakan dihasilkan tridiagonal Lanczos matriks dengan Conjugate Gradien atau dihasilkan matriks Hessenburg dengan ulang GMRES).

Karena matriks Anda "sangat besar" dan "hanya tersedia sebagai fungsi", pendekatan logis akan menjadi metode yang membonceng pada pemecah atau varian konjugasi gradien.

Sebuah makalah arXiv.org baru -baru ini. Perkiraan nilai eigen ekstrem non-stasioner dalam solusi iteratif sistem linier dan estimator untuk kesalahan relatif mengusulkan pendekatan semacam itu dan memiliki beberapa kutipan pada literatur sebelumnya.

Sekarang setelah saya melihat, forum ini memiliki sejumlah Pertanyaan sebelumnya yang berkaitan erat (tidak semua dengan Jawaban, tetapi periksa Komentar):

Perkirakan nilai eigen ekstrem dengan CG

Perkiraan angka kondisi untuk matriks yang sangat besar

Algoritma tercepat untuk menghitung nomor kondisi dari matriks besar di Matlab / Oktaf

condest ‖ A ‖ 1 ‖ A - 1 ‖ $\|A\|_1 \|A^{-1}\|_1$$\|A\|_1$$\|A^{-1}\|_1$

Karena matriks Anda tampaknya Hermitian dan pasti positif, mungkin angka kondisi 2-norma lebih menarik. Masalahnya kemudian memperkirakan rasio nilai eigen terbesar (terkecil). Tantangannya agak paralel dengan kasus 1-norma di mana umumnya estimasi yang baik untuk nilai eigen terbesar dapat dengan mudah diperoleh, tetapi memperkirakan nilai eigen terkecil terbukti lebih sulit.

Meskipun ditujukan pada kasus-kasus non-SPD (dan bahkan non-kuadrat), makalah arXiv.org baru-baru ini, Estimasi Angka Kondisi Iteratif yang Dapat Diandalkan , memberikan tinjauan yang baik tentang masalah estimasi nilai eigen terkecil dan garis serangan yang menjanjikan oleh subruang Krylov metode (LSQR) yang berjumlah Konjugat Gradien dalam kasus SPD.