Apakah prinsip maksimum / minimum dari persamaan panas dipertahankan oleh diskritisasi Crank-Nicolson?

10

Saya menggunakan skema beda hingga Crank-Nicolson untuk menyelesaikan persamaan panas 1D. Saya bertanya-tanya apakah prinsip maksimum / minimum dari persamaan panas (yaitu bahwa maksimum / minimum terjadi pada kondisi awal atau pada batas-batas) juga berlaku untuk solusi diskritisasi.

Ini mungkin tersirat oleh fakta bahwa Crank-Nicolson adalah skema yang stabil dan konvergen. Tetapi tampaknya Anda mungkin dapat membuktikan ini secara langsung melalui argumen aljabar linier menggunakan matriks yang dibuat dari stensil Crank-Nicolson.

Saya menghargai petunjuk apa pun untuk literatur tentang ini. Terima kasih.

— foobarbaz
sumber

Hai foobarbaz, dan selamat datang di scicomp! Saya berasumsi Anda bahwa masalah yang Anda selesaikan tidak memiliki istilah sumber, benar?

— Paul

8

Prinsip maksimum untuk Crank-Nicolson akan berlaku jika untuk timestepdan spasi grid. Secara umum, kita dapat mempertimbangkanskemadari bentuk

μ ≐ \frac{k}{h^{2}} \leq 1

$\mu \doteq \frac{k}{h^2} \leq 1$

k

$k$

h

$h$

θ

$\theta$

mana

adalah matriks Laplacian standar dan

. Jika

{kamu}^{n + 1} = {kamu}^{n} + \frac{μ}{2} ((1 - θ) SEBUAH {kamu}^{n} + θ SEBUAH {kamu}^{n + 1})

$u^{n+1} = u^n + \frac{\mu}{2}\left( (1-\theta)Au^n + \theta Au^{n+1}\right)$

A

$A$

0 \leq θ \leq 1

$0 \leq \theta \leq 1$

, maka skemanya stabil. (Ini dapat dengan mudah ditunjukkan dengan teknik Fourier.) Namun, kriteria kuat bahwa

μ (1 - 2 θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-2\theta) \leq \frac{1}{2}$

diperlukan agar prinsip maksimum berlaku secara umum.

μ (1 - θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-\theta) \leq \frac{1}{2}$

Untuk bukti, lihat Solusi Numerik dari Persamaan Diferensial Parsial oleh KW Morton . Secara khusus, lihat Bagian 2.10 dan 2.11 dan Teorema 2.2.

Ada juga cara yang baik untuk melihat bahwa prinsip maksimum tidak akan berlaku secara umum untuk Crank-Nicolson tanpa kendala pada . $\mu$

Pertimbangkan persamaan panas pada dengan diskritisasi yang mengandung 3 titik, termasuk batas. Biarkan menunjukkan diskretisasi di timestep dan titik grid . Asumsikan batas Dirichlet, sehingga untuk semua . Kemudian Crank-Nicolson berkurang menjadi $[0,1]$ $u_i^k$ $k$ $i$ $u^k_0 = u^k_2 = 0$ $k$ yang selanjutnya dapat direduksi menjadi

(1 - \frac{μ}{2} (- 2)) {kamu}_{1}^{n + 1} = (1 + \frac{μ}{2} (- 2)) {kamu}_{1}^{n},

$\left(1 - \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^{n+1}_1 = \left(1 + \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^n_1,$

{kamu}_{1}^{n + 1} = (\frac{1 - μ}{1 + μ}) {kamu}_{1}^{n} .

$u^{n+1}_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)u^n_1.$

Jika kita mempertimbangkan kondisi awal , maka kita memiliki $u_1^0 = 1$

{kamu}_{1}^{n} = {(\frac{1 - μ}{1 + μ})}^{n},

$u^n_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)^n,$

u_{1}^{n} \leq 1

$u^n_1 \leq 1$

u_{1}^{n} < 0

$u^n_1 < 0$

n

$n$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ

$\mu$

Menanggapi permintaan foobarbaz, saya telah menambahkan sketsa buktinya.

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) {kamu}_{j}^{n + 1} & = θ μ ({kamu}_{j - 1}^{n + 1} + {kamu}_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ ({kamu}_{j - 1}^{n} + {kamu}_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] {kamu}_{j}^{n} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &= \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j \end{align*}$

$\mu(1-\theta)\leq \frac{1}{2}$

$u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_{j-1}$ $u^{n+1}_{j+1}$ $u^n_{j-1}$ $u^n_{j+1}$ $u^n_j$ $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_j$

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) {kamu}_{j}^{n + 1} & > θ μ ({kamu}_{j - 1}^{n + 1} + {kamu}_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ ({kamu}_{j - 1}^{n} + {kamu}_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] {kamu}_{j}^{n} \\ = (1 + 2 θ μ) {kamu}_{j}^{n + 1} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &> \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j\\ &= (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j \end{align*}$

$u^{n+1}_j$ $u$

— Ben
sumber

Terima kasih! Apakah Anda mengetahui referensi lain selain Morton? Saya tidak dapat mengakses Bagian atau Teorema itu di pratinjau buku Google. Saya ingin mengerti buktinya.

— foobarbaz

@foobarbaz Saya tidak punya referensi lain yang berguna, tetapi saya menambahkan garis besar buktinya. Beri tahu saya jika saya bisa membuatnya lebih jelas.

— Ben

0

Stabilitas berarti bahwa gangguan tetap dibatasi waktu. Itu tidak berarti bahwa prinsip maksimum terpenuhi pada tingkat diskrit, itu masalah yang berbeda. Memuaskan prinsip maksimum diskrit sudah cukup tetapi tidak perlu untuk stabilitas.

— chris
sumber