Apa tujuan menggunakan integrasi oleh bagian-bagian dalam memperoleh bentuk yang lemah untuk diskritisasi FEM?

24

Ketika beralih dari bentuk kuat PDE ke bentuk FEM, tampaknya orang harus selalu melakukan ini dengan terlebih dahulu menyatakan bentuk variasional. Untuk melakukan ini, Anda mengalikan formulir kuat dengan elemen di beberapa (Sobolev) ruang dan mengintegrasikan di wilayah Anda. Ini bisa saya terima. Yang tidak saya mengerti adalah mengapa seseorang juga harus menggunakan formula Green (satu atau beberapa kali).

Saya sebagian besar telah bekerja dengan persamaan Poisson, jadi jika kita mengambil itu (dengan kondisi batas Dirichlet homogen) sebagai contoh, yaitu

\begin{aligned} - \nabla^{2} u & = f, u \in Ω \\ u & = 0, u \in \partial Ω \end{aligned}

$\begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align}$

maka diklaim bahwa cara yang tepat untuk membentuk bentuk variasional adalah

\begin{aligned} \int_{Ω} f v d \vec{x} & = - \int_{Ω} \nabla^{2} u v d \vec{x} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} - \int_{\partial Ω} \vec{n} \cdot \nabla u v d \vec{s} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} . \end{aligned}

$\begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align}$

Tapi apa yang menghentikan saya dari menggunakan ekspresi pada baris pertama, bukankah itu juga bentuk variasi yang dapat digunakan untuk mendapatkan formulir FEM? Bukankah itu sesuai dengan bilinear dan bentuk linear dan ? Apakah masalah di sini bahwa jika saya menggunakan fungsi basis linear (fungsi bentuk) maka saya akan berada dalam kesulitan karena matriks kekakuan saya akan menjadi matriks nol (tidak dapat dibalik)? Tetapi bagaimana jika saya menggunakan fungsi bentuk non-linear? Apakah saya masih harus menggunakan formula Green? Jika saya tidak harus: apakah itu disarankan? Jika tidak, apakah saya kemudian memiliki formulasi variasi-tetapi-tidak-lemah? $b(u,v)=(\nabla^2 u, v)$ $l(v)=(f, v)$

Sekarang, katakanlah saya memiliki PDE dengan turunan orde tinggi, apakah itu berarti ada banyak kemungkinan bentuk variasi, tergantung pada bagaimana saya menggunakan rumus Green? Dan mereka semua mengarah pada perkiraan FEM (berbeda)?

pde finite-element elliptic-pde

— Kristen
sumber

Terkait: scicomp.stackexchange.com/questions/667/…

— Paul

18

Jawaban singkat:

Tidak, Anda tidak perlu melakukan integrasi untuk FEM tertentu. Tetapi dalam kasus Anda, Anda harus melakukan itu.

Jawaban panjang:

Katakanlah adalah solusi elemen hingga. Jika Anda memilih sedikit polinomial linier sebagai basis Anda, maka mengambil di atasnya akan memberi Anda distribusi pesanan 1 (berpikir mengambil turunan pada fungsi langkah Heaviside), dan integrasi mengalikan dengan hanya akan masuk akal bila Anda menganggapnya sebagai pasangan dualitas daripada produk dalam . Anda tidak akan mendapatkan matriks nol, teorema representasi Riesz mengatakan bahwa ada elemen dalam dapat mengkarakterisasi pasangan dualitas dengan produk dalam di : $u_h$ $\Delta$ $-\Delta u_h\in H^{-1}$ $v$ $L^2$ $\varphi_{-\Delta u_h} \in H^1_0$ $H^1$
$⟨ - Δ u_{h}, v ⟩_{H^{- 1}, H_{0}^{1}} = \underset{inner product in H^{1}}{\underset{⏟}{\int_{Ω} \nabla φ_{- Δ u_{h}} \cdot \nabla v}} .$ $\langle-\Delta u_h ,v \rangle_{H^{-1},H^1_0} = \underbrace{\int_{\Omega}\nabla \varphi_{-\Delta u_h} \cdot \nabla v}_{\text{inner product in }H^1}.$ Mengintegrasikan dengan unsur bagian elemen untuk akan menjelaskan pada pasangan dualitas ini: untuk unsur dalam triangulasi ini memberitahu Anda bahwa harus menyertakan antar-elemen fluks jump dalam representasi pasangan dualitasnya, perhatikan integrasi pada batas setiap elemen juga merupakan pasangan dualitas antara dan $u_h$ $T$ $\int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v = - \sum_{T} (\int_{T} Δ u_{h} v + \int_{\partial T} \frac{\partial u_{h}}{\partial n} v d S),$ $\int_{\Omega}\nabla u_h \cdot \nabla v = -\sum_{T}\left(\int_{T} \Delta u_h\,v + \int_{\partial T}\frac{\partial u_h}{\partial n}v\,dS\right),$ $-\Delta u_h$ $H^{1/2}$ $H^{-1/2}$ . Bahkan jika Anda menggunakan basis kuadrat, yang memiliki non-lenyap pada setiap elemen, Anda masih tidak dapat menulis sebagai produk dalam, karena kehadiran lompatan fluks antar-elemen ini. $\Delta$ $(\Delta u, v)$
Integrasi oleh bagian dapat ditelusuri kembali ke teori Sobolev untuk elips pde menggunakan fungsi halus, di mana -spaces semua penutupan fungsi halus di bawah jenis norma integral. Lalu orang mengatakan apa keteraturan minimum di sini bahwa kita dapat melakukan produk dalam. Juga perlu diingat bahwa solusi lemah reguler dalam kondisi tertentu adalah solusi kuat (keteraturan elips). Tapi polinomial linear kontinu piecewise bukanlah , dari sudut pandang ini, tidak masuk akal untuk mengambil produk dalam menggunakan baik. $W^{k,p}$ $W^{k,p}$ $H^1$ $H^2$ $H^2$ $\Delta u_h$
Untuk FEM tertentu, Anda tidak perlu melakukan integrasi dengan bagian-bagian. Misalnya, elemen hingga kuadrat-terkecil. Tulis pde urutan kedua sebagai sistem urutan pertama: Maka Anda ingin meminimalkan fungsional kuadrat-terkecil: memiliki semangat yang sama dengan fungsional Ritz-Galerkin, formulasi elemen hingga dari meminimalkan fungsional di atas dalam suatu ruang elemen hingga tidak memerlukan integrasi oleh bagian-bagian.
${\begin{cases} σ = - \nabla u, \\ \nabla \cdot σ = f . \end{cases}$ $\begin{cases} \boldsymbol{\sigma} = -\nabla u, \\ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = f. \end{cases}$ $J (v) = ‖ σ + \nabla u ‖_{L^{2} Ω}^{2} + ‖ \nabla \cdot σ - f ‖_{L^{2} Ω}^{2},$ $\mathcal{J}(v) = \|\boldsymbol{\sigma} + \nabla u\|_{L^2{\Omega}}^2 + \|\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} - f\|_{L^2{\Omega}}^2,$

— Shuhao Cao
sumber

17

Tidak ada yang menghentikan Anda melakukan hal itu secara teknis, tetapi ketika Anda mengintegrasikan bagian-bagiannya Anda mendapatkan lebih banyak fleksibilitas dengan ruang solusi karena mereka tidak perlu memiliki keteraturan (diperlukan untuk formulasi non IBP). Elemen-elemen linier yang Anda sarankan pada umumnya telah menegakkan kesinambungan antara elemen-elemen, dan karenanya tidak mungkin dalam . Formulasi IBP selanjutnya adalah simetris, yang memiliki beberapa kelebihannya sendiri. $H^2$ $H^2$

— Reid.Atcheson
sumber

1

Apakah Anda mengatakan bahwa fungsi bentuk linear memberikan solusi untuk formulasi FEM yang tidak ada dalam karena membedakan solusi FEM ini dua kali (dengan lemah) memberikan jumlah distribusi delta, yang tidak dalam ? Apakah itu berarti bahwa untuk pde: s orde lebih tinggi dari 2, saya harus menggunakan fungsi bentuk orde lebih tinggi dari 1 (setidaknya jika ruang uji dan percobaan harus sama?)?

H^{2}

$H^2$

L^{2}

$L^2$

— Christian

1

Apa yang Anda katakan pada dasarnya benar. Sedangkan untuk PDE orde dua yang lebih tinggi, Anda tidak perlu menggunakan ruang keteraturan yang lebih tinggi karena menuliskan formulasi campuran (lihat jawaban Shuhao) dapat membantu. Anda juga dapat menggunakan teknik lain seperti melompat hukuman untuk menghindari kesulitan ini. Untuk jawaban FEM klasik, ya Anda akan membutuhkan keteraturan yang lebih tinggi.

— Reid.Atcheson

2

Biarkan saya menekankan pentingnya simetri. Jika operator diferensial adalah self-adjoint, saya berharap akan berakhir dengan matriks simetris. Tanpa integrasi oleh bagian-bagian ini tidak akan terjadi.

— Stefano M

1

Manfaat komputasi adalah pemikiran utama saya dalam menambahkan itu, tetapi apakah ada juga manfaat teoretis yang kuat tentang simetri (selain dari bukti fakta yang lebih mudah yang kemungkinan masih berlaku dalam kasus eliptik, bahkan jika diskritisasi tidak nonsimetris)?

— Reid.Atcheson

15

Jawaban yang sangat baik sudah ada di halaman ini, tetapi masih ada (kecil) poin yang hilang.

OP bertanya:

Sekarang, katakanlah saya memiliki PDE dengan turunan orde tinggi, apakah itu berarti ada banyak kemungkinan bentuk variasi, tergantung pada bagaimana saya menggunakan rumus Green? Dan mereka semua mengarah pada perkiraan FEM (berbeda)?

Mengintegrasikan oleh bagian-bagian (dengan cara yang benar ) penting ketika Anda memiliki tipe kondisi batas Neumann. Sebenarnya oleh ibp Anda memperhitungkan Neumann bc dalam formulasi variasional Anda. Bentuk Neumann bc tergantung pada bagaimana Anda mengintegrasikan bagian, lih. jawaban ini pada integrasi oleh bagian-bagian dalam elastisitas linier. Jadi, bahkan untuk PDE eliptik orde dua, integrasi oleh bagian harus dilakukan dengan cara tertentu, untuk memulihkan formulasi variasi yang valid untuk Neumann atau kondisi batas campuran. (Dan ini tentu saja terlepas dari kenyataan bahwa Anda diskritkan oleh FEM).

Dalam fisika matematika, di mana Neumann bc memiliki makna yang terdefinisi dengan baik (fluks panas, stres ...), integrasi oleh bagian-bagian penting untuk menjaga interpretasi hasil yang benar. Bahkan untuk kondisi Dirichlet dan FEM yang homogen ini benar, karena jika kita menggunakan metode pengali Lagrange untuk memaksakan bc, pengali menjadi kuantitas fisik, seperti fluks atau gaya pekat.

— Stefano M
sumber