Kebingungan tentang Quantum Monte Carlo

Pertanyaan saya adalah tentang mengekstraksi yang dapat diamati dari metode QMC, seperti yang dijelaskan dalam referensi ini .

Saya mengerti derivasi formal dari berbagai metode QMC seperti Path Integral Monte Carlo. Namun, pada akhirnya saya masih bingung tentang cara efektif menggunakan teknik ini.

Ide dasar dari derivasi metode MC Quantum adalah untuk menentukan, melalui pendekatan Trotter, operator yang dapat berupa matriks kepadatan atau operator evolusi waktu dari sistem kuantum. Kami kemudian mendapatkan sistem klasik dengan dimensi tambahan yang dapat diperlakukan dengan metode MC.

Mengingat bahwa kita dapat menafsirkan di operator kuantum baik sebagai suhu terbalik dan waktu imajiner, tujuan algoritma ini harus untuk menghitung perkiraan operator ini. Memang, jika kita akan secara langsung mengukur jumlah dari berbagai konfigurasi sampel di sepanjang simulasi, dalam kasus "suhu terbalik" kita akan memiliki sampel yang menghormati kepadatan probabilitas berdasarkan , di mana $\beta$ $e^{−\beta\hat{H}}$ $\beta/M$ $M$ adalah jumlah langkah terpisah yang diperkenalkan dalam dekomposisi Trotter. Sebaliknya, dalam kasus "waktu imajiner" kita akan mendapatkan sampel pada berbagai langkah waktu yang berbeda, sehingga mendapatkan rata-rata sepanjang waktu juga. Kami juga tidak akan memperoleh jumlah seperti pada waktu tertentu , dengan beberapa operator yang diamati. $\langle\psi_t|\hat{A}|\psi_t\rangle$ $t$ $\hat{A}$

Namun, menurut pendapat saya jumlah yang kami sampel langsung dari simulasi semacam ini (diambil dari (5.34) dokumen, halaman 35):

\bar{O} \equiv ⟨ \hat{O} (X) ⟩ \equiv \frac{1}{N!} \sum_{P} \int O (X) π (X, P) d X

$\bar{O} \equiv \langle \hat{O}(X) \rangle \equiv \frac{1}{N!} \sum_P \int O(X) \pi(X,P) dX$

$M$

\frac{E_{t h}}{N} = ⟨ \frac{d}{2 τ} - \frac{m}{2 (ℏ τ)^{2} M N} \sum_{j = 1}^{M} (R_{j} - R_{j + 1})^{2} + \frac{1}{M N} \sum_{j = 1}^{M} V (R_{j}) ⟩

$\frac{E_{th}}{N}= \left\langle \frac{d}{2 \tau} - \frac{m}{2 (\hbar \tau)^2MN } \sum_{j=1}^{M} (\mathbf{R}_j -\mathbf{R}_{j+1})^2 + \frac{1}{MN} \sum_{j=1}^{M} V(\mathbf{R}_j) \right\rangle$

Apakah saya benar bahwa serangkaian simulasi QMC diperlukan untuk mengekstrak informasi yang berguna tentang yang dapat diamati?

monte-carlo quantum-mechanics

— Pippo
sumber

Asalkan saya mengerti Anda dengan benar, menurut saya kedua pendekatan itu setara jika sistemnya ergodik.

— Daniel Shapero

@DanielShapero Apa maksud Anda tepatnya dengan menjadi setara?

— Pippo

Saya hanya googled path integral Monte Carlo dan Anda benar-benar harus mengabaikan apa yang saya katakan, itu tidak relevan.

— Daniel Shapero

Saya tidak berpikir ada keraguan tentang Quantum Monte Carlo; itu dipahami dengan sangat baik dan didukung secara teoritis ...

— Nick

β / M

$\beta/M$

β

$\beta$

M

$M$

M

$M$

Jawaban:

Ada banyak kebingungan dalam pertanyaan Anda. Yang paling penting bagi saya adalah Anda melewatkan QMC "naif" yang merupakan perhitungan integral antara Monte-Carlo dalam beberapa metode variasi dan difusi Monte-Carlo adalah metode yang berbeda dengan argumentasi dan derivasi yang berbeda.

Poin utamanya adalah tentang waktu imajiner. Dalam difusi, waktu imajiner Monte-Carlo adalah trik untuk mengubah persamaan Schroedinger bebas-waktu menjadi persamaan seperti-difusi bergantung-waktu yang solusinya dalam batas "waktu" tak terbatas cenderung menjadi solusi persamaan Schroedinger asli. Itu dia. Waktu dalam DQMC tidak nyata.

Penjelasan yang relatif baik tetapi sederhana diberikan dalam Ulasan of Modern Physics, 73, 33 (2001) .

Ngomong-ngomong, apa yang Anda maksud dengan "Trotter approximation" dalam pertanyaan Anda?

— Misha
sumber

Saya tidak berpikir ada kebingungan ini adalah pertanyaan saya karena saya tidak pernah merujuk ke Difusi MC, yang idenya sangat berbeda, meskipun juga dimulai dari diskritisasi operator kepadatan / waktu-evolusi (tetapi berakhir dengan interpretasi berbeda dari Itu).

— Pippo

e^{- β \hat{H}}

$e^{−\beta\hat{H}}$

e^{- τ \hat{H}} \cdot e^{- τ \hat{H}} \cdot . . . \cdot e^{- τ \hat{H}}

$e^{−\tau\hat{H}}\cdot e^{−\tau\hat{H}}\cdot ... \cdot e^{−\tau\hat{H}}$

τ

$\tau$

β / M

$\beta/M$

Btw, pada akhirnya saya menyelesaikan masalah saya dengan bertanya langsung kepada profesor di akhir ujian (yang berjalan sangat baik: D), dan ya, kami tidak bisa langsung menghubungkan jumlah yang disimulasikan ke jumlah yang diinginkan.

— Pippo

@Pippo Jadi, yang Anda maksud sebenarnya adalah Path-Integral Monte Carlo. Saya masih tidak melihat Anda menyebutkan ini dalam pertanyaan Anda.

— Misha

Baris kedua: "Saya memahami derivasi formal dari berbagai metode QMC seperti Path Integral Monte Carlo." ;)

— Pippo

Anda benar bahwa orang menggunakan teknik monte carlo untuk menghitung rata-rata statistik (sebagai lawan dari informasi yang diselesaikan waktu) sepanjang waktu. Itu tidak selalu benar bahwa ini adalah apa yang harus dihitung: itu tergantung pada jenis informasi yang Anda inginkan. Mungkin Anda memiliki kekuatan eksternal yang tergantung waktu, misalnya, dan ingin melihat bagaimana sistem berkembang sebagai respons.

— Dan
sumber

Terima kasih telah menjawab. Saya akan mencoba memberikan rincian lebih lanjut tentang apa yang saya minta. Untuk membuat diri saya lebih mudah dimengerti, saya akan merujuk pada karya ini yang saya temukan di Internet: itp.phys.ethz.ch/education/fs12/cqp/chapter05.pdf

— Pippo

Ide dasar dari derivasi metode MC Quantum adalah untuk menentukan, melalui pendekatan Trotter, operator yang dapat berupa matriks kepadatan atau operator evolusi waktu dari sistem kuantum; dengan cara ini, kami memperoleh sistem klasik dengan dimensi tambahan yang dapat diperlakukan dengan metode MC.

— Pippo

M

$M$

Inilah pertanyaan saya: apakah saya benar dengan interpretasi saya tentang metode Quantum Monte Carlo?

— Pippo

Saya juga akan mengedit pertanyaan asli saya.

— Pippo