Turunkan transformasi Fourier dari cosinus dan sinus

Dalam jawaban ini , Jim Clay menulis:

... gunakan fakta bahwa ...$\mathcal F\{\cos(x)\} = \frac{\delta(w - 1) + \delta(w + 1)}{2}$

Ekspresi di atas tidak terlalu berbeda dari .$\mathcal F\{{\cos(2\pi f_0t)\}=\frac{1}{2}(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0))}$

Saya telah mencoba untuk mendapatkan ekspresi selanjutnya dengan menggunakan definisi standar dari transformasi Fourier tetapi yang akhirnya saya dapatkan adalah ekspresi yang sangat berbeda dari apa yang tampaknya jawabannya.$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt$

Ini pekerjaan saya:

$$\begin{align} x(t)&=\cos(2\pi f_0t)\\ \Longrightarrow \mathcal F\left\{x(t)\right\}&=\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(2\pi f_0t)e^{-j2\pi ft}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac 12 \left(e^{-j2\pi f_0t}+e^{j2\pi f_0t}\right)e^{-j2\pi ft}dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi f_0t}e^{-j2\pi ft}+e^{j2\pi f_0t}e^{-j2\pi ft}\right)dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t\left(f_0+f\right)}+e^{-j2\pi t\left(f-f_0\right)}\right)dt\\ &=\frac{1}{2}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t(f_0+f)}\right)dt+\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t(f-f_0)}\right)\right) dt \end{align}$$

Di sinilah aku terjebak.

Pekerjaan Anda OK kecuali untuk masalah yang Transformasi Fourier dari tidak ada dalam arti biasa dari fungsi dari , dan kita harus memperluas gagasan untuk memasukkan apa yang disebut distribusi, atau impuls, atau delta Dirac, atau (seperti yang kita para insinyur tidak akan lakukan, banyak yang membuat jijik matematikawan) fungsi delta . Baca tentang kondisi yang harus dipenuhi agar transformasi Fourier dari sinyal ada (dalam arti biasa) dan Anda akan melihat bahwa tidak memiliki Transformasi Fourier dalam arti biasa.$\cos(2\pi f_0 t)$$f$$X(f)$$x(t)$$\cos(2\pi f_0 t)$

Beralih ke pertanyaan spesifik Anda, setelah Anda memahami bahwa impuls didefinisikan hanya dalam hal bagaimana mereka berperilaku sebagai integand dalam integral, yaitu, untuk , asalkan kontinu pada , maka lebih mudah untuk menyimpulkan transformasi Fourier dari dengan merenungkan fakta bahwa dan karenanya adalah kebalikannya Transformasi Fourier dari$a < x_0 < b$

$$\int_{a}^{b} \delta(x-x_0)g(x)\,\mathrm dx = g(x_0)$$ $g(x)$$x_0$ $$\cos(2\pi f_0 t) = \left.\left.\frac{1}{2}\right[e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}\right]$$ $$\int_{-\infty}^\infty \delta(f-f_0)e^{j2\pi ft}\,\mathrm df = e^{j2\pi f_0t}$$ $\cos(2\pi f_0 t)$$\displaystyle \left.\left.\frac{1}{2}\right[\delta(f-f_0) + \delta(f+f_0)\right]$ .

Kemudian gunakan saja tabel transformasi pasangan Fourier untuk melihat bahwa , dan substitusi variabel ( dan ), untuk mendapatkan yang Anda butuhkan.$\delta(t) \leftrightarrow 1$$f_1 = f+f_0$$f_2 = f-f_0$