Kapan kita bisa menulis Prinsip ketidakpastian Heisenberg sebagai kesetaraan?

Kita tahu bahwa Prinsip ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa

Δ f Δ t \geq \frac{1}{4 π} .

$\Delta f \Delta t \geq \frac{1}{4 \pi}.$

Tetapi (dalam banyak kasus untuk Morlet wavelet) saya telah melihat bahwa mereka mengubah ketidaksetaraan menjadi kesetaraan. Sekarang pertanyaan saya adalah kapan kita diizinkan mengubah ketidaksetaraan menjadi persamaan:

Δ f Δ t = \frac{1}{4 π}

$\Delta f \Delta t = \frac{1}{4 \pi}$ why =

fourier-transform wavelet resolution

— Tukang listrik
sumber

sepertinya sangat menarik

— dato datuashvili

seperti yang saya tahu itu sama jika distribusi gaussian bentuk optimal, silakan lihat buku ini The Illustrated Wavelet Transform Handbook: Teori Pengantar dan Aplikasi dalam Sains, Teknik, Kedokteran dan Keuangan

— dato datuashvili

tautannya rusak, maukah Anda mengirim email ke buku itu atau mengirim tautan lain? email saya: <electricaltranslation@gmail.com> terima kasih @datodatuashvili

— Electricman

Jawaban:

Penting untuk menentukan lebar waktu dan frekuensi dan dari suatu sinyal sebelum mendiskusikan bentuk khusus dari prinsip ketidakpastian. Tidak ada definisi unik dari jumlah ini. Dengan definisi yang tepat dapat ditunjukkan bahwa hanya sinyal Gaussian yang memenuhi prinsip ketidakpastian dengan kesetaraan. $\Delta_t$ $\Delta_{\omega}$

Pertimbangkan sinyal dengan Fourier transform memuaskan $f(t)$ $F(\omega)$

\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} (t) d t = 1 (unit energy) \int_{- \infty}^{\infty} t | f (t) |^{2} d t = 0 (centered around t = 0) \int_{- \infty}^{\infty} ω | F (ω) |^{2} d ω = 0 (centered around ω = 0)

$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$

Tidak satu pun dari kondisi ini yang merupakan batasan. Mereka semua dapat dipenuhi (untuk sinyal dengan energi terbatas) dengan penskalaan, terjemahan, dan modulasi yang sesuai.

Jika sekarang kita mendefinisikan lebar waktu dan frekuensi sebagai berikut

Δ_{t}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} | f (t) |^{2} d t Δ_{ω}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} ω^{2} | F (ω) |^{2} d ω

$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$

maka prinsip ketidakpastian menyatakan itu

\begin{matrix} (2.6.2) & Δ_{t}^{2} Δ_{ω}^{2} \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$

(jika menghilang lebih cepat dari untuk ) $f(t)$ $1/\sqrt{t}$ $t\rightarrow\pm\infty$

di mana ketidaksetaraan dipenuhi dengan persamaan untuk sinyal Gaussian

\begin{matrix} (2.6.3) & f (t) = \sqrt{\frac{α}{π}} e^{- α t^{2}} \end{matrix}

$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$

Angka-angka persamaan di atas sesuai dengan bukti di bawah ini yang berasal dari Wavelets dan Subband Coding oleh Vetterli dan Kovacevic (hal.80):

masukkan deskripsi gambar di sini

— Matt L.
sumber

terima kasih untuk matematika, saya akan mencoba memahaminya. @ matt-l

— Electricman

@ Mat L .: Mengapa Anda menentukan lebar waktu dan frekuensi dengan faktor bobot kuadrat? Saya melihat di sekolah bahwa varit dan variw variansnya. Variansi dari distribusi dengan faktor bobot linier? Apa ini? Jadi apakah ini berarti bahwa prinsip ketidakpastian ini tidak berbicara tentang varian fungsi dan varians spektrumnya, tetapi sesuatu yang lain?

— Martijn Courteaux

@ MartijnCourteaux: Ini hanya satu cara yang mungkin untuk menentukan lebar sinyal. Ketika diterapkan pada fungsi waktu, ini sering disebut durasi RMS , dan ini hanyalah momen kedua .

| f (t) |^{2}

$|f(t)|^2$

— Matt L.

Apakah mungkin untuk menyatakan secara matematis prinsip ketidakpastian Heisenberg yang melibatkan momen kedua ? Saya bisa mengerti bahwa Heisenberg menggunakan , karena itu adalah probabilitas fungsi partikel tertentu. Tapi, saya ingin tahu prinsip Heisenberg dalam konteks pemrosesan sinyal.

f (t)

$f(t)$

| f (x) |^{2}

$|f(x)|^2$

— Martijn Courteaux

@ MartijnCourteaux: Ini adalah prinsip Ketidakpastian dalam konteks pemrosesan sinyal. Momen kedua tidak memiliki interpretasi sebagai durasi, karena dapat positif dan negatif. Bayangkan sinyal aneh . Momen kedua selalu nol (jika integralnya menyatu).

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} t^{2} f (t) d t

$\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)dt$

— Matt L.

Saya tidak bisa memberikan Anda semua teori di balik ini (karena secara harfiah mengisi buku-buku), tetapi ternyata Heisenberg menjadi kesetaraan yang tepat untuk keluarga sinyal ini:

s_{t_{0}, ω_{0}, σ, ϕ, γ} (t) = \exp (- {(\frac{t - t_{0}}{σ})}^{2} + i (ϕ + ω_{0} (t - t_{0}) + γ (t - t_{0})^{2}))

$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$

di mana semua parameter adalah bilangan real. Keluarga ini dihasilkan oleh symplectomorphisms kuadrat dalam frekuensi waktu dari atom Gabor tunggal. Symplectomorphisms ini menjaga hubungan ketidakpastian Heisenberg.

Sunting: Biarkan saya membuat ini lebih tepat dan juga sebenarnya lebih benar. Sinyal yang saya berikan di atas meminimalkan area frekuensi waktu, tetapi bukan produk ketidakpastian frekuensi waktu. Jika Anda ingin minimal maka dari atas harus menghilang. $\Delta F \cdot \Delta T$ $\gamma$

Namun, gagasan tentang area frekuensi waktu dapat digeneralisasi untuk mengukur area bentuk yang tidak selaras dengan sumbu waktu dan frekuensi. Itu berarti, alih-alih produk ketidakpastian antara F dan T, kami mengukur produk ketidakpastian minimal dari dua variabel konjugasi yang dibentang oleh F dan T. Saya akan memberi Anda detail, tetapi untuk definisi area frekuensi-waktu ini keluarga sinyal memberikan Anda minimum.

— Jazzmaniac
sumber

Bukankah itu fuonctiuons Gabuor fijlter? `

— Jean-Yves

Salah satu alasan mengapa ia "mengisi buku-buku" adalah bahwa banyak kondisi yang diperlukan untuk kesetaraan didefinisikan dengan tepat dan terbatas (seringkali melampaui segala manfaat dalam konteks lain, seperti dunia nyata).

— hotpaw2

Konteks asli dari prinsip ketidakpastian Heisenberg adalah fisika, khususnya mekanika kuantum di mana variabel konjugasi yang dimaksud adalah posisi dan momentum. Itu tidak terbatas pada analisis waktu / frekuensi.

— user2718

@BZ, Anda berkhotbah di paduan suara di sini. Saya seorang ahli fisika kuantum matematika. Namun saya tidak melihat maksud dari komentar Anda di sini atau itu dalam jawaban Anda sendiri.

— Jazzmaniac

Prinsip ketidakpastian menetapkan batas teoritis untuk penyelesaian, sehingga tidak pernah ditulis sebagai kesetaraan.

Hubungan kesetaraan yang Anda temui adalah untuk konteks analisis spesifik dan implementasi analisis. Dalam hal ini konteksnya adalah analisis sinyal sehingga waktu / frekuensi adalah variabel konjugat yang menarik, dan implementasinya adalah wavelet spesifik yang digunakan.

Hubungan kesetaraan menyediakan cara untuk membandingkan resolusi di seluruh implementasi analisis yang berbeda. Kehati-hatian harus diambil ketika menafsirkan hubungan ini karena definisi resolusi tidak boleh, tetapi dapat bervariasi.

Hubungan kesetaraan sesuai setelah Anda mendefinisikan dua hal: 1) makna matematika resolusi. 2) metode analisis (dalam hal ini, pilihan wavelet).

— pengguna2718
sumber

Jika Anda menggali lebih dalam maka prinsip Heisenberg menjadi lebih dari sekadar pernyataan tentang resolusi. Ini sangat terkait dengan geometri frekuensi waktu dalam struktur matematika yang disebut symplectic non-commutative geometry. Ini memberikan ukuran teoretik informasi untuk informasi frekuensi waktu dan menjadi tepat secara integral terkuak. Anda bahkan dapat menggunakannya untuk menggeneralisasi teorema Shannon untuk rekonstruksi wilayah TF yang arbitrer.

— Jazzmaniac

Dalam mekanika kuantum, prinsip ketidakpastian adalah salah satu dari berbagai ketidaksetaraan matematis yang menyatakan batas fundamental pada presisi yang dengannya pasangan sifat-sifat fisik suatu partikel yang dikenal sebagai variabel pelengkap, seperti posisi x dan momentum p, dapat diketahui secara bersamaan. Sebagai contoh, pada tahun 1927, Werner Heisenberg menyatakan bahwa semakin tepatnya posisi suatu partikel ditentukan, semakin tidak tepat momentumnya dapat diketahui, dan sebaliknya. [Wikipedia - tapi saya belajar ini dalam Fisika dan mengunjunginya lagi di kelas analisis]

— user2718