Apakah ada karakterisasi alternatif sparsity dari sinyal dalam penginderaan terkompresi

Asumsi awal untuk penginderaan terkompresi (CS) adalah bahwa sinyal yang mendasarinya jarang dalam beberapa basis, misalnya, ada maksimum koefisien Fourier-nol untuk sinyal sparse. Dan pengalaman kehidupan nyata memang menunjukkan bahwa sinyal yang dipertimbangkan sering jarang.$s$

Pertanyaannya adalah - diberi sinyal, sebelum mengirimkan bit-sampel yang dipampatkan secara kompresif ke penerima dan membiarkannya pulih sesuai kemampuannya, apakah ada cara untuk mengetahui apa itu sparsitasnya, dan apakah itu adalah kandidat yang cocok untuk dikompresi merasakan di tempat pertama?

Atau, apakah ada karakterisasi tambahan / alternatif dari sparsity yang dapat memberi tahu kami dengan cepat apakah CS akan bermanfaat atau tidak. Orang dapat dengan mudah melihat bahwa pengirim dapat melakukan persis apa yang akan dilakukan penerima dengan sejumlah pengukuran yang dipilih secara acak, dan kemudian mencoba mencari jawabannya. Tetapi apakah ada cara alternatif untuk menyelesaikan pertanyaan ini?

Kecurigaan saya adalah bahwa sesuatu seperti ini pasti telah dipelajari, tetapi saya tidak dapat menemukan petunjuk yang baik.

Catatan: Saya telah memposting pertanyaan ini di Mathoverflow, beberapa minggu yang lalu, tetapi tidak mendapatkan jawaban. Oleh karena itu pos lintas.

Memang, ada cara di mana sparsity, atau konten informasi, dapat diperkirakan di perangkat akuisisi. Rincian, kepraktisan, dan kegunaan sebenarnya dari hal tersebut dapat diperdebatkan dan sangat tergantung pada konteks penerapannya. Dalam hal pencitraan, seseorang dapat menentukan area gambar yang lebih atau kurang dapat dikompresikan dalam basis yang telah ditentukan. Sebagai contoh, lihat "Pengambilan Sampel Kompresif Berbasis Saliency untuk Sinyal Gambar" oleh Yu et al . Dalam hal ini, persyaratan kompleksitas tambahan yang ditempatkan pada perangkat akuisisi memberikan keuntungan marjinal.

Sehubungan dengan pertanyaan Anda tentang membuat penentuan mengenai kegunaan Penginderaan Terkompresi pada sinyal yang diberikan pada saat akuisisi: Jika sinyal tersebut mematuhi semua jenis model yang dikenal apriori , Penginderaan Terkompresi dimungkinkan. Pemulihan yang akurat hanya tergantung pada rasio antara jumlah pengukuran yang dilakukan dan sejauh mana sinyal sampel mematuhi model Anda. Jika ini model yang buruk, Anda tidak akan melewati transisi fase. Jika ini adalah model yang baik, maka Anda akan dapat menghitung rekonstruksi akurat dari sinyal asli. Selain itu, pengukuran Penginderaan Terkompresi, secara umum, terbukti di masa depan. Jika Anda memiliki jumlah pengukuran untuk sinyal yang tidak mencukupi dalam jumlah yang akurat untuk memulihkan sinyal asli menggunakan model yang Anda miliki saat ini, maka masih mungkin untuk merancang model yang lebih baik besok yang ukurannya cukup untuk pemulihan yang akurat.

Catatan Tambahan (sunting): Pendekatan akuisisi yang disebutkan dalam pertanyaan Anda kedengarannya cukup dekat dengan Penginderaan Terkompresi yang adaptif, jadi saya pikir yang berikut ini mungkin menarik bagi pembaca pertanyaan ini. Hasil terbaru oleh Arias-Castro, Candes, dan Davenport telah menunjukkan bahwa strategi pengukuran adaptif tidak dapat, secara teori, menawarkan keuntungan yang signifikan dibandingkan Penginderaan Terkompresi yang tidak adaptif (yaitu buta). Saya merujuk pembaca ke karya mereka, "Pada Batas Mendasar dari Adaptive Sensing" yang akan segera muncul di ITIT.

Salah satu pendekatan praktis adalah memeriksa sinyal minat Anda dengan sejumlah kamus untuk mencari tahu apakah kamus tersebut jarang ada di antara mereka. Anda sebenarnya tidak harus melakukan apa yang penerima akan lakukan, yaitu, kompres dan merekonstruksi sinyal, untuk melihat apakah itu jarang dalam kamus tertentu. Anda dapat menerapkan transformasi linier untuk itu dan memeriksa apakah vektor yang ditransformasikan jarang. Jika ya, transformasi terbalik adalah kamus Anda. Jarang, maksud saya menghitung jumlah koefisien tidak nol atau tidak dapat diabaikan dalam vektor. Misalnya, hitung DFT dari sinyal Anda. Jika representasi frekuensi-domain itu ternyata jarang (cukup), Anda dapat menggunakan DFT terbalik sebagai kamus. Jika transformasi tidak dapat dibalik, misalnya, matriks lebar, itu tidak semudah itu, tetapi harus bisa dilakukan dengan frame.

Mengenai alternatif untuk sparsity, endolith menyebutkan beberapa upaya untuk menggeneralisasi "kesederhanaan" menjadi lebih dari sekadar sparsity. Selain itu, ada juga:

1. Peringkat rendah: digunakan dalam penyelesaian matriks, yang merupakan semacam generalisasi matriks dari penginderaan terkompresi. Lihat misalnya Penyelesaian matriks yang tepat melalui optimasi cembung dan makalah yang lebih baru dari Candès et al.
2. " k -simpleness": vektor tidak tepat jarang; sebagian besar entri mereka adalah a atau b dan beberapa ( k ) di antaranya ada di antaranya. Ini misalnya dijelaskan dalam Donoho & Tanner, 'Teorema Undersampling Tepat' (contoh 3).

Makalah "Memperkirakan Sparsity Tidak Diketahui dalam Sensing Terkompresi" , oleh Miles Lopes membahas masalah memperkirakan sparsity sinyal dengan beberapa pengukuran linier. Perhatikan bahwa ia memperkirakan rasio , yang merupakan batas terendah dari sparsity. Dan saya pikir Anda perlu tahu, atau memperbaiki, dasar sparsity.$\|x\|_1^2/\|x\|_2^2$