Kovarian vs Autokorelasi

12

Saya mencoba mencari tahu apakah ada hubungan langsung antara konsep-konsep ini. Secara ketat dari definisi, mereka tampaknya konsep yang berbeda secara umum. Semakin saya memikirkannya, semakin saya pikir mereka sangat mirip.

Misalkan menjadi vektor acak WSS. Kovarians, , diberikan oleh mana adalah singkatan dari Hermitian dari vektor. $X,Y$ $C_{XY}$

C_{X Y} = E [(X - μ_{x}) (Y - μ_{y})^{H}]

$C_{XY}=E\left[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)^H\right]$

H

$H$

Biarkan $Z$ menjadi vektor acak WSS. Fungsi autokorelasi, $R_{XX}$ , diberikan oleh

R_{Z Z} (τ) = E [(Z (n) - μ_{z}) {(Z (n + τ) - μ_{z})}^{H}]

$R_{ZZ}(\tau)=E\left[\left(Z(n)-\mu_z\right)\left(Z(n+\tau)-\mu_z\right)^H\right]$

Sunting Catatan Ada koreksi pada definisi ini seperti yang diterapkan pada pemrosesan sinyal, lihat Jawaban Matt di bawah ini.

Kovarians tidak melibatkan konsep waktu, ia mengasumsikan setiap elemen dari vektor acak adalah realisasi yang berbeda dari beberapa generator acak. Autokorelasi mengasumsikan vektor acak adalah evolusi waktu dari beberapa generator acak awal. Namun pada akhirnya, keduanya adalah entitas matematika yang sama, urutan angka. Jika Anda membiarkan $X=Y=Z$ , maka muncul

C_{X Y} = R_{Z Z}

$C_{XY}=R_{ZZ}$ Apakah ada sesuatu yang lebih halus yang saya lewatkan?

autocorrelation covariance proof

— bel
sumber

R_{Z Z} (τ)

$R_{ZZ}(\tau)$

12

$Z(n)$ $Z(n+\tau)$

Sebagai tambahan, dalam pemrosesan sinyal, autokorelasi biasanya didefinisikan sebagai

R_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {X (t_{1}) X^{*} (t_{2})}

$R_{XX}(t_1,t_2)=E\{X(t_1)X^*(t_2)\}$

yaitu, tanpa mengurangi mean. Autocovariance diberikan oleh

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {[X (t_{1}) - μ_{X} (t_{1})] [X^{*} (t_{2}) - μ_{X}^{*} (t_{2})]}

$C_{XX}(t_1,t_2)=E\{[X(t_1)-\mu_X(t_1)][X^*(t_2)-\mu^*_X(t_2)]\}$

Dua fungsi ini dihubungkan oleh

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = R_{X X} (t_{1}, t_{2}) - μ_{X} (t_{1}) μ_{X}^{*} (t_{2})

$C_{XX}(t_1,t_2)=R_{XX}(t_1,t_2)-\mu_X(t_1)\mu^*_X(t_2)$

— Matt L.
sumber

τ

$\tau$

@ PhilMacKay: Tentu, tapi itu hanya berfungsi untuk proses WSS. Saya memberikan definisi untuk kasus umum, di mana proses tidak selalu stasioner.

— Matt L.

Ya memang proses non-stasioner dapat mengganggu untuk analisis data, itulah sebabnya saya selalu mencoba untuk men-tren data sebelum menggunakan alat statistik tercinta saya! Itu tidak selalu memungkinkan, meskipun ...

— PhilMacKay

0

$\tau$ $Z(n)$ $Z(n+\tau)$ $R_{ZZ}(\tau)$ $\tau \in \mathbb{R}^+$ $C_{XY}$

$X=Y=Z$ $\tau = 0$ $R_{ZZ}(\tau)$

Dalam pengalaman pribadi saya (astrofisika, berbagai pemrosesan sensor), kovarians digunakan sebagai koefisien untuk memeriksa kesamaan dua set data, sedangkan autokorelasi digunakan untuk menandai jarak korelasi, yaitu, seberapa cepat suatu data berevolusi menjadi data lain. sepenuhnya.

— PhilMacKay
sumber