Di mana cacat dalam derivasi DTFT ini dari urutan langkah unit

11

Pertanyaan ini terkait dengan pertanyaan saya yang lain di mana saya meminta derivasi dari transformasi Fourier diskrit-waktu (DTFT) dari urutan langkah unit $u[n]$ . Selama pencarian saya untuk derivasi saya menemukan satu yang luar biasa sederhana. Saya pertama kali melihatnya di halaman 138 buku ini oleh BA Shenoi. Saya juga menemukannya di matematika. SE dalam jawaban ini .

Karena argumennya pendek dan sederhana, saya akan mengulanginya di sini untuk kenyamanan.

Urutan langkah unit dapat ditulis sebagai
$\begin{matrix} (1) & u [n] = f [n] + \frac{1}{2} \end{matrix}$ $u[n]=f[n]+\frac12\tag{1}$ dengan $\begin{matrix} (2) & f [n] = {\begin{cases} \frac{1}{2}, n \geq 0 \\ - \frac{1}{2}, n < 0 \end{cases} \end{matrix}$ $f[n]=\begin{cases}\frac12,\quad n\ge 0\\-\frac12,\quad n<0\end{cases}\tag{2}$ Jelas, $\begin{matrix} (3) & f [n] - f [n - 1] = δ [n] \end{matrix}$ $f[n]-f[n-1]=\delta[n]\tag{3}$ Menerapkan DTFT pada kedua sisi $(3)$ memberikan $\begin{matrix} (4) & F (ω) (1 - e^{- j ω}) = 1 \end{matrix}$ $F(\omega)\left(1-e^{-j\omega}\right)=1\tag{4}$ mana $F(\omega)$ adalah DTFT dari $f[n]$ . Dari $(4)$ kita dapatkan $\begin{matrix} (5) & F (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} \end{matrix}$ $F(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\tag{5}$ Dari $(5)$ dan $(1)$ kita dapatkan untuk DTFT dari $u[n]$ $\begin{matrix} (6) & U (ω) = F (ω) + π δ (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω), - π \leq ω < π \end{matrix}$ $U(\omega)=F(\omega)+\pi\delta(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\pi\delta(\omega),\quad -\pi\le\omega <\pi\tag{6}$ tempat saya menggunakan $\text{DTFT}\{1\}=2\pi\delta(\omega)$ , $-\pi\le\omega <\pi$ .

Eq. $(6)$ untuk DTFT dari $u[n]$ tidak diragukan lagi benar. Namun, derivasi tersebut cacat.

Pertanyaannya adalah: temukan dan jelaskan cacat derivasi di atas.

Silakan tambahkan jawaban Anda dengan tag spoiler >!.

— Matt L.
sumber

1

Yang mengganggu saya adalah bahwa

adalah sinyal daya terbatas , bukan sinyal energi terbatas , yang kita dapatkan ketika kita menambahkan dua sinyal energi tak terbatas ini bersama-sama.

f [n]

$f[n]$

— robert bristow-johnson

juga, bukankah

?

DTFT {x [n] = 1} = 2 π \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (ω - 2 k π)

$\text{DTFT}\{x[n]=1\} = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-2k\pi)$

— robert bristow-johnson

Terima kasih kawan atas tanggapan Anda! Aku sudah upvoted semua dari mereka, dan masing-masing hasil dalam diskusi yang bagus di tidak begitu aspek DTFT sinyal aneh terkenal (yaitu, orang-orang yang tidak dalam

atau

). Saya hanya dapat menerima satu, dan saya akan menunggu sedikit lebih lama untuk jawaban baru atau perubahan pada jawaban yang ada. Saya juga akan menambahkan jawaban saya sendiri nanti.

ℓ^{1}

$\ell^1$

ℓ^{2}

$\ell^2$

— Matt L.

1

Matt,

jelas bukan energi yang terbatas. jumlah sampel tak terbatas yang persegi menjadi

f [n]

$f[n]$

jangan tambahkan menjadi angka yang terbatas.

\frac{1}{4}

$\tfrac14$

— robert bristow-johnson

1

@ robertbristow-johnson: Apa yang Anda anggap mengganggu tentang itu? Jika sinyal membatalkan satu sama lain di mana pun kecuali untuk sejumlah titik, maka itulah yang kita dapatkan.

— Matt L.

6

Ada banyak sekali sinyal yang membuat persamaan ini berlaku:
$y [n] - y [n - 1] = δ [n] (1)$ $y[n]-y[n-1]=\delta[n] \qquad (1)$ Satu-satunya hal yang penting adalah bahwa $y[0]-y[-1]=1$ , dan kemudian seluruh koefisien $y$ dapat ditentukan di bawah batasan yang Persamaan. $(1)$ menyatakan (yaitu substraksi sampel berurutan harus $0$ untuk $n\neq 0$ ). Dengan kata lain, Persamaan. $(1)$ akan dicapai oleh sinyal apa pun $y[n]$ sedemikian rupa sehingga $y [0] = y [- 1] + 1 \land y [n] = y [n - 1] \forall n \neq 0$ $y[0]=y[-1]+1 \land y[n]=y[n-1] \ \forall n\neq0$ Cara lain untuk melihat ini adalah bahwa setiap fungsi yang pada dasarnya adalah $u[n]$ dengan offset (nilai tambah konstan) akan memenuhi $(1)$ . Ini menjelaskan pernyataan yang dibuat olehrobert bristow-johnson dalam jawabannya: pembeda menghancurkan informasi ini (seperti mengambil turunan dalam waktu yang terus menerus menghancurkan bukti dari setiap nilai konstan dalam fungsi asli).
Singkatnya, saya percaya bahwa buktinya cacat karena prosedur yang diikuti dapat menggunakan fungsi apa pun dari bentuk $u[n]+C$ dengan $C\in\mathbb{R}$ , dan ini akan menyebabkan banyak fungsi memiliki transformasi Fourier yang sama, yang memang salah sebagai transformasi Fourier adalah sebuah penipisan. Mungkin penulis sengaja memutuskan untuk mengabaikan apa pun yang berkaitan dengan nilai DC, sadar bahwa untuk menunjukkan bahwa $F(\omega)$ adalah DTFT dari $f[n]$ dia akan membutuhkan properti akumulasi (yang bukti paling populer berasal dari DTFT unit step - ergo, bukti bundar yang cantik). Buktinya tidak sepenuhnya salah , karena semua yang dinyatakannya (rumus untuk $F(\omega)$ dan $U(\omega)$ , dekomposisi langkah unit, persamaan perbedaan) adalah benar, tetapi akan memerlukan properti akumulasi untuk menunjukkan mengapa $F(\omega)$ tidak memiliki Dirac delta.

— Tendero
sumber

Anda benar-benar di jalur yang benar! Apakah Anda memiliki ide bagaimana kelemahan ini dapat diatasi, yaitu, bagaimana melakukannya dengan benar?

— Matt L.

@MattL. Mengatur kondisi awal untuk

akan melakukan trik dan menentukan sinyal secara univocally. Kondisi awal itu akan menentukan nilai DC dari sinyal

, yang muncul dalam DTFT sebagai konstanta yang mengalikan impuls Dirac (sesuai dengan properti akumulasi). Saya pikir dalam bukti yang diberikan, ini bekerja karena sinyal

tidak memiliki nilai DC karena simetris di sekitar

, dan DTFT benar dalam kasus itu. Tetapi fakta bahwa sinyal tidak memiliki DC harus dinyatakan, karena itu mendasar, saya percaya.

y [n]

$y[n]$

y [n]

$y[n]$

f [n]

$f[n]$

0

$0$

— Tendero

Ada banyak jawaban bagus dan sulit untuk memilih mana yang akan diterima. Tapi yang ini paling dihargai oleh masyarakat, dan juga saya pikir itu paling jelas menunjukkan kesalahan dalam derivasi. Terima kasih semua!

— Matt L.

4

Saya kewalahan dengan jumlah tanggapan yang saya dapatkan (10 jawaban sejauh ini!). Tentu saja, mereka semua mendapat dukungan saya. Ini menyenangkan, terima kasih teman-teman atas pemikiran, komentar, dll. Saya tahu bahwa sekarang sebagian besar dari Anda tahu apa kekurangannya, setidaknya yang saya maksudkan. Orang mengekspresikan berbagai hal secara berbeda, dan selalu ada ruang untuk kesalahpahaman, jadi saya akan mencoba merumuskan dengan jelas apa yang saya pikir merupakan cacat paling penting dalam derivasi itu. Saya menyadari fakta bahwa tidak semua orang akan setuju dan itu baik-baik saja. Saya senang bisa mendiskusikan topik DSP esoteris semacam ini dengan pikiran yang tajam seperti kalian semua! Kita mulai.

Klaim pertama saya adalah bahwa setiap persamaan dalam pertanyaan saya benar. Namun, derivasi dan motivasi beberapa dari mereka benar-benar salah dan menyesatkan, dan bahwa "derivasi" hanya dapat ada karena penulis tahu seperti apa hasilnya seharusnya.

Eq. (3) dalam pertanyaan ( ) benar untuk urutan yang diberikan (Persamaan dalam pertanyaan), tetapi jelas juga benar untuk semua urutan bentuk dengan konstanta acak . Jadi, sesuai dengan derivasi, yang dihasilkan DTFT $f[n]-f[n-1]=\delta[n]$ $f[n]$ $(2)$
$\begin{matrix} (1) & f [n] = u [n] + c \end{matrix}$ $f[n]=u[n]+c\tag{1}$ $c$ harus menjadi DTFT dari semua urutan bentuk , terlepas dari nilai konstanta . Itu tentu saja tidak masuk akal karena DTFT unik. Secara khusus, menggunakan "bukti" yang sangat "saya bisa" menunjukkan "bahwa seperti yang diberikan dalam Persamaan. dari pertanyaan saya (atau Persamaan bawah) sebenarnya adalah DTFT dari yang kami cari. Jadi mengapa repot-repot berpisah seperti dalam Persamaan. dari pertanyaan? $F(\omega)$ $(1)$ $c$ $F(\omega)$ $(5)$ $(3)$ $u[n]$ $u[n]$ $(1)$
Namun, memang benar bahwa DTFTs dari semua urutan memenuhi Persamaan. dalam pertanyaan (diulangi di sini untuk kenyamanan): Tetapi sekarang muncul cacat matematika yang sebenarnya: Dari Persamaan. salah untuk menyimpulkan $(1)$ $(4)$
$\begin{matrix} (2) & F (ω) (1 - e^{- j ω}) = 1 \end{matrix}$ $F(\omega)\left(1-e^{-j\omega}\right)=1\tag{2}$ $(2)$ Persamaan. hanya satu dari banyak kemungkinan solusi yang tak terhingga dari, dan kebetulan merupakan yang dibutuhkan oleh penulis untuk sampai pada hasil akhir yang benar. Eq. adalah DTFT daridalamdengan $\begin{matrix} (3) & F (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} \end{matrix}$ $F(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\tag{3}$ $(3)$ $(2)$ $(3)$ $f[n]$ $(1)$ , tetapi dari derivasi yang diberikan tidak ada cara untuk mengetahui hal itu. $c=-\frac12$
Jadi bagaimana kita bisa menghindari bahwa matematika kesalahan dan penggunaan untuk memperoleh DTFTs dari urutan , dengan konstan ? Kesimpulan yang benar dari adalah $(2)$ $all$ $(1)$ $c$ $(2)$ dengan beberapa konstantabelum ditentukan. Memasukkanke sisi kirimenghasilkan
$\begin{matrix} (4) & F (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + α δ (ω) \end{matrix}$ $F(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\alpha\delta(\omega)\tag{4}$ $\alpha$ $(4)$ $(2)$ Jadi semua fungsi diberikan oleh memenuhi , sesuai kebutuhan. $1 + α (1 - e^{- j ω}) δ (ω) = 1 + α (1 - e^{- j ω}) |_{ω = 0} \cdot δ (ω) = 1 + 0 \cdot δ (ω) = 1$ $1+\alpha (1-e^{-j\omega})\delta(\omega)=1+\alpha (1-e^{-j\omega})\Big{|}_{\omega=0}\cdot\delta(\omega)=1+0\cdot\delta(\omega)=1$ $F(\omega)$ $(4)$ $(2)$
Konstanta dalam dapat ditentukan dari nilai pada : $\alpha$ $(4)$ $f[n]$ $n=0$ Dapat ditunjukkan, dan jugaWolframAlpha setuju, bahwa nilai pokok Cauchy dari integral dalamadalah
$\begin{matrix} (6) & f [0] = 1 + c = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} F (ω) d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} \frac{d ω}{1 - e^{- j ω}} + \frac{α}{2 π} \end{matrix}$ $f[0]=1+c=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(\omega)d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{d\omega}{1-e^{-j\omega}}+\frac{\alpha}{2\pi}\tag{6}$ $(6)$ DaridandidapatkanJadi untuk $\begin{matrix} (7) & P V \int_{- π}^{π} \frac{d ω}{1 - e^{- j ω}} = π \end{matrix}$ $PV\int_{-\pi}^{\pi}\frac{d\omega}{1-e^{-j\omega}}=\pi\tag{7}$ $(6)$ $(7)$ $\begin{matrix} (8) & α = π (1 + 2 c) \end{matrix}$ $\alpha=\pi (1+2c)\tag{8}$ kita mendapatkan(yang sesuai dengan urutan asliseperti yang digunakan oleh penulis buktinya), dan untuk(yaitu, untuk) kita memiliki, yang akhirnya memberi kita DTFT yang diinginkan: $c=-\frac12$ $\alpha=0$ $f[n]$ $c=0$ $f[n]=u[n]$ $\alpha=\pi$ $u[n]$ $\begin{matrix} (9) & U (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω) \end{matrix}$ $U(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\pi\delta(\omega)\tag{9}$

— Matt L.
sumber

F (ω)

$F(\omega)$

F (ω)

$F(\omega)$

(4)

$(4)$

(2)

$(2)$

ω = 0

$\omega=0$

ω = 0

$\omega=0$

(1 - e^{- j ω})

$(1-e^{-j\omega})$

(1 - e^{- j ω})

$(1-e^{-j\omega})$

Saya tidak benar-benar yakin bahwa tidak ada fungsi selain impuls Dirac delta (dan turunannya) yang memiliki properti ini. Tapi tidak apa-apa, jawaban Anda ditulis dengan baik. Saya merasa senang. Terima kasih.

— AlexTP

2

Cacat mengikuti kata "Jelas", jika itu seharusnya menjadi Fungsi Delta Dirac.
Ini adalah konsep jawaban untuk pertanyaan Anda yang lain yang tidak pernah saya posting:
-------------------------------------------------- -------------
Saya tidak berpikir bukti itu mungkin. Ini mungkin merupakan kasus "definisi fungsional" yang memiliki sifat yang diinginkan.

$X_{2 π} (ω) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] e^{- j ω n}$ $X_{2\pi} \left(\omega\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] e^{-j \omega n}$ $U = \sum_{n = 0}^{+ \infty} e^{- j ω n}$ $U = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} e^{-j \omega n}$ $U = lim_{N \to \infty} \sum_{n = 0}^{N - 1} e^{- j ω n}$ $U = \lim_{ N \to \infty } \sum\limits_{n=0}^{N-1} e^{-j \omega n}$ $U = lim_{N \to \infty} [\frac{1 - e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}]$ $U = \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ 1 - e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right]$ $U = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} - lim_{N \to \infty} [\frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}]$ $U = \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right]$ $\omega = 0$ $\pi$ $\omega \neq 0$
Membuktikan definisi berfungsi dengan cara yang diinginkan adalah masalah yang berbeda.
Bukti halaman 138 salah (setidaknya) karena:

$δ (t) = lim_{a \to 0} \frac{1}{2 a} [u (t + a) - u (t - a)] = \frac{d u}{d t}$ $\delta(t) = \lim_{ a \to 0 } \frac{1}{2a} \left[ u(t + a) - u(t - a) \right] = \frac{du}{dt}$ $\delta(n) = u_2(n) - u_2(n-1)$
Situasi yang menarik, saya harap ini membantu. Saya menantikan apa yang Anda katakan.
Ced

— Cedron Dawg
sumber

δ [n]

$\delta[n]$

n = 0

$n=0$

1

$1$

U = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} - lim_{N \to \infty} [\frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}]

$U = \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right]$

2

$1=2$
$F (ω) (1 - e^{- j ω}) = 1$ $F(\omega)\left(1-e^{-j\omega}\right)=1$ $\omega=2k\pi \text{ for } k \in \mathbb{Z}$

— robert bristow-johnson
sumber

3

u [n]

$u[n]$

u [n] - \frac{1}{2}

$u[n]-\tfrac{1}{2}$

w \neq 2 π k

$w \neq 2\pi k$

δ [n]

$\delta[n]$

ω

$\omega$

ω = 2 k π

$\omega=2k\pi$

δ [n]

$\delta[n]$

1 - e^{- j w}

$1-e^{-j w}$

F (w)

$F(w)$

f [n] - f [n - 1] = δ [n]

$f[n]-f[n-1]=\delta[n]$

u [n]

$u[n]$

2

$lim_{N \to \infty} \sum_{n = - N}^{n = N} f [n] e^{- j ω n} (1 - e^{- j ω n}) + (e^{j ω N} f [N] + e^{- j ω N} f [- N]) e^{- j ω} = 1$ $\lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^{n=N}f[n]e^{-j\omega n} (1-e^{-j\omega n})+(e^{j\omega N}f[N]+e^{-j\omega N}f[-N])e^{-j\omega}=1$ $f[n]=u[n]$ $lim_{N \to \infty} \sum_{n = - N}^{n = N} f [n] e^{- j ω n} (1 - e^{- j ω n}) + e^{j ω N} e^{- j ω} = 1$ $\lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^{n=N}f[n]e^{-j\omega n} (1-e^{-j\omega n})+e^{j\omega N}e^{-j\omega}=1$

— AlexTP
sumber

F (ω)

$F(\omega)$

ω \neq 2 k π

$\omega \ne 2 k \pi$

k

$k$

F (ω)

$F(\omega)$

ω = 2 k π

$\omega = 2k\pi$

\sum_{n = 1}^{\infty} \sin (ω n)

$\sum_{n=1}^\infty \sin(\omega n)$

ω

$\omega$

ω = 2 k π

$\omega = 2k\pi$

U (ω)

$U(\omega)$

F (ω)

$F(\omega)$

u [n]

$u[n]$

1

u [n]

$u[n]$

f [n]

$f[n]$

u [n] - u [n - 1] = δ [n]

$u[n] - u[n-1] = \delta[n]$

2

Saya pikir saya telah menemukan cara terbaik untuk mengekspresikan kesalahan dalam bukti ini. Jadi saya akan menikamnya lagi.
$\frac{1}{2}$ $x$

$U (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + 2 π x δ (ω)$ $U(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+2\pi x \delta(\omega)$
$x$ $\frac{1}{2}$
Selanjutnya, jika Anda mengambil langkah yang saya lakukan dalam jawaban terakhir saya dan menemukan (4) dinyatakan sebagai

$F (ω) (1 - e^{- j ω}) = 1 + 2 π x (1 - e^{- j ω}) δ (ω)$ $F( \omega )(1 - e^{-j\omega} ) = 1 + 2\pi x (1 - e^{-j\omega} ) \delta(\omega)$
Diikuti dengan memasukkannya dalam (5) dan (6) Anda dapatkan:

$U (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + 4 π x δ (ω)$ $U(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+ 4\pi x \delta(\omega)$
Yang, seperti yang saya tunjukkan sebelumnya, tidak konsisten dengan definisi untuk sampai ke sana.
$x = \frac{1}{2}$ $\pi$ $\delta(\omega)$
$x=\frac{1}{2}$
Ced

— Cedron Dawg
sumber

1

Ini sebagai tanggapan atas komentar dalam jawaban pertama saya. Karena penyelubungan spoiler saya mempostingnya sebagai jawaban terpisah.
Saya akan memposting jawaban saya yang lain untuk pertanyaan lain, tetapi saya tidak melakukannya karena kurangnya pengalaman di bidang ini. Saya mempostingnya kemarin, menghapusnya, lalu membatalkan penghapusan, lalu menemukan cara menggunakan tag spoiler.
$\delta$ $\delta$ $\delta_p$

$δ_{p} [n] = f [n] - f [n - 1] = u [n] - u [n - 1]$ $\delta_p[n] = f[n] - f[n-1] = u[n] - u[n-1]$
Mengambil DTFT dari bagian kiri dan kanan. Saya tidak yakin saya memiliki notasi yang benar, tetapi matematika harus jelas. Menggunakan definisi yang sedang dibuktikan.

$F_{p} (ω) = F_{u} (ω) - F_{u} (ω) e^{- j ω}$ $F_p( \omega ) = F_u( \omega ) - F_u( \omega ) e^{-j\omega}$

$F_{p} (ω) = [\frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω)] - [\frac{e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}} + (π e^{- j ω}) δ (ω)]$ $F_p( \omega ) = \left[ \frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\pi\delta(\omega) \right] - \left[ \frac{e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}+ ( \pi e^{-j\omega} ) \delta(\omega) \right]$

$F_{p} (ω) = \frac{1 - e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}} + π (1 - e^{- j ω}) δ (ω)$ $F_p( \omega ) = \frac{1-e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}} + \pi (1 - e^{-j\omega} )\delta(\omega)$

$F_{p} (ω) = 1 + π (1 - e^{- j ω}) δ (ω) \neq 1$ $F_p( \omega ) = 1 + \pi (1 - e^{-j\omega} ) \delta(\omega) \neq 1$
$\omega = 2k\pi$ $\omega = 2k\pi$
Ced
==============================
Mengikuti:
$\delta_p$

— Cedron Dawg
sumber

F_{p} (ω) = 1

$F_p(\omega)=1$

(1 - e^{- j ω}) δ (ω)

$(1-e^{-j\omega})\delta(\omega)$

f (ω)

$f(\omega)$

ω = 0

$\omega=0$

f (ω) δ (ω) = f (0) δ (ω)

$f(\omega)\delta(\omega)=f(0)\delta(\omega)$

f (0) = 0

$f(0)=0$

1

$\sum (a [n] - b [n]) c_{ω} [n] = \sum a [n] c_{ω} [n] - \sum b [n] c_{ω} [n]$ $\sum (a[n] - b[n])c_\omega[n] = \sum a[n]c_\omega[n]- \sum b[n]c_\omega[n]$ $\ell_1$ $\ell_2$ $f[n]-f[n-1]$

— Laurent Duval
sumber

1

jadi Matt,

$f[n]$

f [n] ≜ {\begin{cases} \frac{1}{2} e^{- α n} & n \geq 0 \\ - \frac{1}{2} e^{α n} & n < 0 \end{cases}

$f[n] \triangleq \begin{cases} \ \tfrac12 e^{-\alpha n} \qquad & n \ge 0 \\ -\tfrac12 e^{ \alpha n} \qquad & n < 0 \\ \end{cases}$

$\alpha > 0$

sekarang kita memiliki sinyal energi yang terbatas dan DTFTs semuanya harus sebanding.

\begin{aligned} f [n] - f [n - 1] & = {\begin{cases} \frac{1}{2} (e^{- α n} - e^{- α (n - 1)}) & n > 0 \\ \frac{1}{2} (1 + e^{- α}) & n = 0 \\ - \frac{1}{2} (e^{α n} - e^{α (n - 1)}) & n < 0 \end{cases} \\ = {\begin{cases} \frac{1}{2} (1 - e^{α}) e^{- α n} & n > 0 \\ \frac{1}{2} (1 + e^{- α}) & n = 0 \\ \frac{1}{2} (e^{- α} - 1) e^{α n} & n < 0 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f[n]-f[n-1] &= \begin{cases} \tfrac12 (e^{-\alpha n} - e^{-\alpha (n-1)}) \qquad & n > 0 \\ \tfrac12 (1 + e^{ -\alpha })\qquad & n = 0 \\ -\tfrac12 (e^{\alpha n} - e^{\alpha(n-1)})\qquad & n < 0 \\ \end{cases} \\ \\ \\ &= \begin{cases} \tfrac12 (1 - e^{\alpha}) e^{-\alpha n} \qquad & n > 0 \\ \tfrac12 (1 + e^{ -\alpha }) \qquad & n = 0 \\ \tfrac12 (e^{-\alpha} - 1)e^{\alpha n} \qquad & n < 0 \\ \end{cases} \\ \end{align}$

$\alpha \to 0$

tapi, sayangnya, hampir jam 2 pagi dan aku tidak akan menghadapinya sekarang.

— robert bristow-johnson
sumber

α

$\alpha$

α \to 0

$\alpha\rightarrow 0$