Untuk nilai kompleks, mengapa menggunakan konjugasi kompleks dalam konvolusi?

8

Diambil dari Adaptive Filter Theory (2014) yang ditulis oleh Haykin halaman 110:

y (n) = \sum_{k = 0}^{\infty} w_{k}^{*} u (n - k), n = 0, 1, 2, . . .

$y(n) = \sum_{k=0}^{\infty} w_k^*u(n-k), \quad n=0,1,2,...$

dimana $u$ dan $w$ adalah nilai kompleks. Pertanyaan saya adalah mengapa menggunakan konjugasi kompleks $w_k$ ? Jawaban yang ditemukan dalam buku itu mengatakan "..., dalam terminologi yang kompleks, istilah itu $w_k^*u(n-k)$ mewakili versi skalar dari produk dalam koefisien filter $w_k$ dan input filter $u(n-k)$ " . Saya masih tidak mengerti, dapatkah Anda menjelaskan lebih lanjut tentang jawaban ini?

— Ηλεκτρολόγος Μηχανικός
sumber

10

Ternyata konvolusi dan korelasi sangat erat kaitannya. Untuk sinyal nyata (dan sinyal energi terbatas):

Lilitan: $\qquad y[n] \triangleq h[n]*x[n] = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty} h[n-m] \, x[m]$

Korelasi: $\qquad R_{yx}[n] \triangleq \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty} y[n+m] \, x[m] = y[-n]*x[m]$

Sekarang, di ruang metrik, kami ingin menggunakan notasi ini:

R_{x y} [n] ≜ ⟨ x [m], y [n + m] ⟩ = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] y [n + m]

$R_{xy}[n] \triangleq \Big\langle x[m], y[n+m] \Big\rangle = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] y[n+m]$

Itu $\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle$ adalah produk dalam vektor $\mathbf{x}$ dan $\mathbf{y}$ dimana $\mathbf{x} =\{x[n]\}$ dan $\mathbf{y} =\{y[n]\}$ . Kemudian kami juga ingin mendefinisikan norma sebagai vektor

\begin{aligned} ‖ x ‖ & ≜ \sqrt{⟨ x, x ⟩} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x [m]} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} x^{2} [m]} \end{aligned}

$\begin{align} \| \mathbf{x} \| &\triangleq \sqrt{\big\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \big\rangle} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] x[m]} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x^2[m]} \\ \end{align}$

dan itu sangat mirip dengan panjang vektor Euclidian dengan jumlah dimensi yang tak terbatas. Semua ini bekerja dengan sangat baik untuk kasus di mana elemen $x[n]$ dari vektor $\mathbf{x}$ semuanya nyata. Norma $\| \mathbf{x} \|$ selalu nyata dan tidak negatif.

Jadi, jika kita menggeneralisasi dan mengizinkan elemen $\mathbf{x}$ untuk dihargai kompleks, maka jika definisi norma yang sama digunakan,

‖ x ‖ ≜ \sqrt{⟨ x, x ⟩}

$\| \mathbf{x} \| \triangleq \sqrt{\big\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \big\rangle}$

maka definisi produk dalam perlu sedikit dimodifikasi:

⟨ x, y ⟩ = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] y^{*} [m]

$\Big\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \Big\rangle = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] y^*[m]$

Lalu jika $\mathbf{x}$ memiliki elemen bernilai kompleks, norma keluar sebagai:

\begin{aligned} ‖ x ‖ & ≜ \sqrt{⟨ x, x ⟩} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x^{*} [m]} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} | x [m] |^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \| \mathbf{x} \| &\triangleq \sqrt{\big\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \big\rangle} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] x^*[m]} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}\Big|x[m]\Big|^2} \\ \end{align}$

Jadi, jelaslah, Haykin hanya menjalankan definisi produk dalam itu kembali ke definisi konvolusi.

— robert bristow-johnson
sumber

4

Penggunaan konjugat dalam pembentukan filter adaptif tidak diperlukan. Namun, jika Anda tidak menulis output menggunakan konjugat maka cukup mudah untuk melupakan bahwa variabel yang Anda hadapi adalah kompleks. Jika kamu menulis

h (n) = \sum_{k = 0}^{\infty} w_{k} (n) u (n - k)

$h(n)=\sum_{k=0}^{\infty}w_k(n)u(n-k)$ maka tidak jelas bahwa Anda berurusan dengan jumlah yang kompleks.

Seperti yang telah ditunjukkan oleh Robert, definisi korelasi perlu diperbarui untuk menangani data yang rumit jika Anda terbiasa melihatnya didefinisikan untuk data nyata.

Alasan lain untuk menggunakan konjugat seperti ini, adalah untuk menyederhanakan pengambilan turunan untuk menemukan solusi untuk filter adaptif. Anggaplah kita memiliki fungsi objektif yang bernilai nyata $J(w)$ bahwa kami mencoba untuk meminimalkan - biasanya ini adalah kuadrat galat yaitu $E[e^*(n)e(n)]$ . Mengambil turunan dari kuantitas ini, wrt $w$ tidak begitu mudah.

Teknik yang umum adalah menulis fungsi objektif sebagai fungsi $w$ dan $w^*$ - yaitu mengobati $w$ dan $w^*$ sebagai variabel independen. Sekarang kita punya

J (w) = F (w, w^{*})

$J(w) = F(w,w^*)$

Untuk menemukan minimum, kami mengambil turunan wrt $w$ dan $w^*$ dan atur ke nol, jadi kami ingin menyelesaikannya

\frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w} = \frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w^{*}} = 0

$\frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w } = \frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w^* }= 0$

Namun, jika Anda melakukan analisis, Anda akan menemukannya

\frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w} = 0 ⟺ \frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w^{*}} = 0

$\frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w } =0 \iff \frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w^* }= 0$

Sehingga Anda hanya perlu menyelesaikan salah satu persamaan ini.

Untuk detail lengkap, Anda dapat melihat:

"Operator gradien yang kompleks dan aplikasinya dalam teori array adaptif", Brandwood 1983, Komunikasi, Pemrosesan Radar dan Sinyal, Proses IEE
"Operator Gradien Kompleks dan Kalkulus CR" Kreutz-Delgado di sini
"Gradien kompleks dan Goni", van den Bos, 1994, Penglihatan, Pemrosesan Gambar dan Sinyal, Proses IEE

Untuk teori Filter Adaptif, saya lebih suka presentasi dalam "Fundamentals of Adaptive Filtering" oleh Ali Sayed. Dia menyajikan derivasi terpadu LMS, NLMS, RLS, APA, dan filter Lattice.

— David
sumber