Apa perbedaan antara transformasi wavelet Gabor-Morlet dan transformasi konstanta-Q?

Sekilas, transformasi fourier konstanta-Q dan transformasi wavelet Gabor-Morlet yang kompleks tampak sama. Keduanya adalah representasi frekuensi waktu, berdasarkan pada filter Q-konstan, sinusoid jendela, dll. Tapi mungkin ada perbedaan yang saya lewatkan?

Konstan-Q Transform Toolbox untuk Pemrosesan Musik mengatakan:

CQT mengacu pada representasi frekuensi waktu di mana tempat frekuensi ditempatkan secara geometris dan faktor-Q (rasio frekuensi pusat dengan bandwidth) dari semua tempat sampah adalah sama.

Analisis skala waktu mengatakan:

Yaitu, menghitung CWT sinyal menggunakan wavelet Morlet sama dengan melewatkan sinyal melalui serangkaian filter bandpass yang berpusat pada dengan Q konstan . $f = \frac{5/2\pi}{a}$ $5/2\pi$

— endolit
sumber

Jawaban:

Secara sederhana, baik transformasi const-Q dan transformasi wavelet Gabor-Morlet hanyalah transformasi wavelet kontinu. Atau, lebih tepatnya, perkiraannya, karena akan selalu ada masalah diskritisasi dalam aplikasi nyata.

Sifat transformasi wavelet adalah bahwa mereka telah membangun dalam properti faktor-Q yang konstan, atau dengan kata lain penskalaan logaritmik. Gabor dan Morlet hanyalah dua nama fungsi wavelet tertentu (eksponensial kompleks dengan jendela gaussian) yang paling sering digunakan. Transformasi CQ hanya menggunakan fungsi dasar lain / wavelet dan memiliki nama khusus yang melekat padanya, mungkin untuk beberapa alasan historis.

— André Bergner
sumber

Penting untuk dicatat bahwa berbagai wavelet yang telah dikembangkan menawarkan dekomposisi sinyal yang berbeda yang digunakan untuk studi. Wavelet tertentu dipilih untuk mengungkapkan fitur sinyal tertentu dengan cara tertentu. Ketika Anda menghitung koefisien wavelet, Anda melakukan korelasi wavelet yang dipilih dengan sinyal yang menarik; dengan demikian bentuk wavelet menentukan bentuk fitur sinyal yang terungkap.

Beberapa fungsi wavelet telah "dirancang" untuk memberikan dekomposisi yang dapat berhubungan dengan dekomposisi Fourier (sebenarnya lebih sesuai dengan dekomposisi Fourier jangka pendek yang digunakan untuk menghasilkan spektogram sinyal). Wavelet Morlet adalah contoh yang baik dari fungsi wavelet tersebut. Wavelet lain telah "dirancang" untuk mengidentifikasi diskontinuitas atau tepi sinyal. Saya telah melihat makalah yang menggunakan fungsi wevelet Daubechies untuk ini.

Mungkin bermanfaat untuk melakukan riset untuk melihat bagaimana masing-masing fungsi wavelet yang Anda sebutkan digunakan dalam praktik. Saya pikir ini akan memberi Anda pemahaman yang lebih baik tentang bagaimana berbagai wavelet berbeda.

— pengguna2718
sumber

Pertanyaannya secara khusus tentang wavelet Morlet saja, dan bagaimana hubungannya dengan transformasi konstanta-Q, yang juga merupakan jenis dekomposisi Fourier. Apakah ada perbedaan di antara mereka, atau mereka menemukan kembali hal yang sama? Saya juga menemukan "Fixed-Point per Octave (FPPO) algoritme" yang "menggunakan jendela waktu pengukuran yang bervariasi sebagai fungsi frekuensi, memanfaatkan jendela waktu lama pada frekuensi rendah (untuk resolusi frekuensi sempit) dan berturut-turut lebih pendek jendela waktu pada frekuensi tinggi " rationalacoustics.com/files/FFT_Fundamentals.pdf

— endolith

Saya memposting komentar spesifik mengenai pertanyaan itu. Posting saya yang lain dimaksudkan untuk mendorong poster untuk memahami bagaimana transformasi wavelet itu unik dan mengapa masuk akal untuk mengembangkan transformasi berdasarkan fungsi wavelet yang berbeda.

— user2718

"Apakah ada perbedaan di antara mereka, atau apakah mereka menemukan kembali barang yang sama?" Mereka berbeda. Fondasi metode Fourier didasarkan pada fungsi sinus dan tidak memiliki resolusi skala waktu. Versi Fourier mengubah pendekatan transformasi yang dilakukan dengan wavelet. Transformasi wavelet didirikan pada fungsi dasar yang didukung secara kompak dan transformasi tersebut adalah representasi waktu / skala daripada representasi waktu / frekuensi. Beberapa fungsi wavelet meniru metode Fourier berdasarkan desain, tetapi ini bukan keharusan.

— user2718

Transformasi Q konstan bukanlah transformasi wavelet. Transformasi Q konstan adalah variasi tertentu pada transformasi Fourier jangka pendek di mana tempat frekuensi ditempatkan secara eksponensial alih-alih spasi linear seperti halnya dengan transformasi Fourier diskrit.

Lihat: http://en.wikipedia.org/wiki/Constant_Q_transformasi untuk detailnya.

Beberapa transformasi wavelet juga dianggap sebagai transformasi Q konstan karena dalam versi diskrit dari transformasi, skala wavelet bervariasi secara eksponensial (basis menjadi 2 dalam kasus ini). Menurut makalah berikut dari universitas Stanford ( https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Continuous_Wavelet_Transform.html ):

Ketika wavelet ibu dapat diartikan sebagai sinusoid berjendela (seperti wavelet Morlet), transformasi wavelet dapat diinterpretasikan sebagai transformasi konstanta-Q Fourier. 12.5 Sebelum teori wavelet, konstanta-transformasi Fourier Q (seperti sebuah bank penyaring oktaf ketiga klasik) tidak mudah untuk dibalik, karena sinyal dasarnya tidak ortogonal. Lihat Lampiran E untuk diskusi terkait.

— pengguna2718
sumber

"Transformasi Q konstan bukan transformasi wavelet." Bagaimana?

— endolit

Ini mungkin sedikit masalah semantik, tetapi "transformasi Q konstan" dikembangkan dari transformasi Fourier jangka pendek, jadi tidak ada fungsi wavelet yang digunakan dalam analisis. Ini mirip dengan analisis wavelet dalam bahwa tempat frekuensi ditempatkan secara eksponensial. Transformasi wavelet secara khusus tidak berurusan dengan frekuensi. Transformasi wavelet hanya berurusan dengan skala. Kombinasi fungsi skala dan wavelet dapat dihubungkan kembali ke frekuensi, tetapi kedua hal tersebut tidak sama.

— user2718

Dari apa yang saya baca, wavelet Gabor-Morlet adalah transformasi wavelet kontinu pertama, dan difokuskan pada frekuensi, bukan skala, karena ia berasal dari transformasi Gabor, yang merupakan transformasi Fourier berjendela. Mengabaikan perbedaan semantik, apakah ada perbedaan dalam cara CQT dan Morlet WT dihitung?

— endolith

Bukankah itu setara secara matematis, dengan asumsi fungsi jendela sama dan wavelet dibuat dari eksponensial kompleks?

— endolith

Saya pikir Anda dapat mengatur untuk transformasi Fourier berjendela yang setara dengan transformasi wavelet. Biasanya dalam penerapan transformasi Q konstan, fungsi jendela tidak dipilih untuk menegakkan kondisi penerimaan yang diperlukan dari wavelet, jadi secara umum transformasi Q konstan tidak sama dengan transformasi wavelet. Kondisi penerimaan untuk wavelet memastikan bahwa analisisnya reversibel (yaitu Anda dapat merekonstruksi sinyal waktu Anda dari hasil transformasi) yang tidak benar secara umum untuk transformasi Q konstan.

— user2718