Ide Konvolusi
Eksposisi favorit saya tentang topik ini adalah dalam salah satu kuliah Brad Osgood tentang Transformasi Fourier . Diskusi tentang konvolusi dimulai sekitar pukul 36:00, tetapi seluruh ceramah memiliki konteks tambahan yang patut ditonton.
Ide dasarnya adalah bahwa, ketika Anda mendefinisikan sesuatu seperti Transformasi Fourier, daripada bekerja secara langsung dengan definisi setiap saat, akan berguna untuk mendapatkan properti tingkat yang lebih tinggi yang menyederhanakan perhitungan. Sebagai contoh, salah satu properti seperti itu adalah bahwa transformasi dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah dari transformasi, yaitu
F{f+g}=F{f}+F{g}.
Itu berarti jika Anda memiliki fungsi dengan transformasi yang tidak diketahui, dan itu dapat didekomposisi sebagai jumlah fungsi dengan transformasi yang diketahui, pada dasarnya Anda mendapatkan jawabannya secara gratis.
Sekarang, karena kita memiliki identitas untuk jumlah dari dua transformasi, itu adalah pertanyaan alami untuk bertanya apa identitas untuk produk dari dua transformasi, yaitu
F{f}F{g}= ?.
Ternyata ketika Anda menghitung jawabannya, konvolusi adalah apa yang muncul. Seluruh derivasi diberikan dalam video, dan karena pertanyaan Anda sebagian besar konseptual, saya tidak akan merekapitulasi di sini.
Implikasi dari mendekati konvolusi dengan cara ini adalah bahwa ini merupakan bagian intrinsik dari cara Transformasi Laplace (yang mana Fourier Tranform adalah kasus khusus) mengubah persamaan diferensial biasa linear koefisien konstan (LCCODE) menjadi persamaan aljabar. Fakta bahwa transformasi semacam itu tersedia untuk membuat LCCODE yang dapat ditindaklanjuti secara analitis adalah sebagian besar alasan mengapa mereka dipelajari dalam pemrosesan sinyal. Misalnya, mengutip Oppenheim dan Schafer :
Karena mereka relatif mudah untuk dikarakterisasi secara matematis dan karena mereka dapat dirancang untuk melakukan fungsi pemrosesan sinyal yang berguna, kelas sistem linear shift-invariant akan dipelajari secara luas.
Jadi satu jawaban untuk pertanyaan, adalah bahwa jika Anda menggunakan metode transformasi untuk menganalisis dan / atau mensintesis sistem LTI, cepat atau lambat, konvolusi akan muncul (baik secara implisit atau eksplisit). Perhatikan bahwa pendekatan ini untuk memperkenalkan konvolusi sangat standar dalam konteks persamaan diferensial. Sebagai contoh, lihat kuliah MIT ini oleh Arthur Mattuck . Sebagian besar presentasi menyajikan integral konvolusi tanpa komentar, kemudian menurunkan propertinya (yaitu menariknya keluar dari topi), atau mengeluhkan bentuk integral integral, berbicara tentang membalik dan menyeret, pembalikan waktu, dll., Dll. .
Alasan saya menyukai pendekatan Prof. Osgood adalah karena ia menghindari semua tsouris itu, dan juga memberikan, menurut pendapat saya, wawasan mendalam tentang bagaimana para ahli matematika mungkin sampai pada gagasan itu sejak awal. Dan saya kutip:
Saya berkata, "Apakah ada cara menggabungkan F dan G dalam domain waktu, sehingga dalam domain frekuensi spektrum berlipat ganda, Fourier mentransformasikan multiplikasi?" Dan jawabannya adalah, ya, ada, dengan integral yang rumit ini. Itu tidak begitu jelas. Anda tidak akan bangun dari tempat tidur di pagi hari dan menuliskannya, dan berharap ini akan menyelesaikan masalah itu. Bagaimana kita mendapatkannya? Anda berkata, seandainya masalahnya terpecahkan, lihat apa yang harus terjadi, dan kemudian kita harus mengenali kapan saatnya mengumumkan kemenangan. Dan inilah saatnya untuk mengumumkan kemenangan.
Sekarang, sebagai ahli matematika yang menjengkelkan, Anda menutupi jejak Anda dan berkata, "Yah, saya hanya akan mendefinisikan lilitan dua fungsi dengan rumus ini."
Sistem LTI
Dalam kebanyakan teks DSP, konvolusi biasanya diperkenalkan dengan cara yang berbeda (yang menghindari referensi untuk mengubah metode). Dengan mengekspresikan sinyal input sembarang sebagai jumlah impuls unit yang diskalakan dan bergeser,x(n)
x(n)=∑k=−∞∞x(k)δ(n−k),(1)
dimana
δ(n)={0,1,n≠0n=0,(2)
sifat-sifat yang menentukan dari sistem invarian-waktu linear mengarah secara langsung jumlah konvolusi yang melibatkan respons impuls . Jika sistem yang didefinisikan oleh operator LTI L dinyatakan sebagai y ( n ) = L [ x ( n ) ] , maka dengan menerapkan properti repektif, yaitu linearitash(n)=L[ δ(n) ]Ly(n)=L[ x(n) ]
L[ ax1(n)+bx2(n) ]Transform of the sum of scaled inputs=aL[ x1(n) ]+bL[ x2(n) ]Sum of scaled transforms,(3)
dan waktu / shift invarian
L[ x(n) ]=y(n) −→−−−impliesL[ x(n−k) ]=y(n−k),(4)
sistem dapat ditulis ulang sebagai
y(n)=L[∑k=−∞∞x(k)δ(n−k)]Tranform of the sum of scaled inputs=∑k=−∞∞x(k)L[δ(n−k)]Sum of scaled transforms=∑k=−∞∞x(k)h(n−k).Convolution with the impulse response
Itu cara yang sangat standar untuk menghadirkan konvolusi, dan ini cara yang sangat elegan dan berguna untuk menyelesaikannya. Derivasi serupa dapat ditemukan di Oppenheim dan Schafer , Proakis dan Manolakis , Rabiner dan Gold , dan saya yakin banyak lainnya. Beberapa wawasan yang lebih dalam [yang lebih jauh dari perkenalan standar] diberikan oleh Dilip dalam jawaban yang sangat bagus di sini .
Namun, perlu diketahui bahwa derivasi ini agak merupakan trik sulap. Melihat kembali bagaimana sinyal diuraikan dalam , kita dapat melihat bahwa itu sudah dalam bentuk konvolusi. Jika(1)
(f∗g)(n)f convolved with g=∑k=−∞∞f(k)g(n−k),
maka hanya x ∗ δ . Karena fungsi delta adalah elemen identitas untuk konvolusi, mengatakan sinyal apa pun dapat diekspresikan dalam bentuk itu sangat mirip dengan mengatakan angka apa pun n dapat dinyatakan sebagai n + 0 atau n × 1 . Sekarang, memilih untuk menggambarkan sinyal dengan cara yang brilian karena mengarah langsung ke ide respon impuls - hanya saja ide konvolusi sudah "dipanggang" dengan dekomposisi sinyal.(1)x∗δnn+0n×1
Dari perspektif ini, konvolusi secara intrinsik terkait dengan ide fungsi delta (yaitu operasi biner yang memiliki fungsi delta sebagai elemen identitasnya). Bahkan tanpa mempertimbangkan hubungannya dengan konvolusi, deskripsi sinyal sangat tergantung pada gagasan fungsi delta. Jadi pertanyaannya kemudian, dari mana kita mendapatkan ide untuk fungsi delta? Sejauh yang saya tahu, setidaknya sejauh kertas Fourier tentang Teori Analitik Panas, di mana ia muncul secara implisit. Satu sumber untuk informasi lebih lanjut adalah makalah ini tentang Asal dan Sejarah Konvolusi oleh Alejandro Domínguez.
Sekarang, itu adalah dua pendekatan utama terhadap gagasan dalam konteks teori sistem linear. Satu mendukung wawasan analitis, dan lainnya mendukung solusi numerik. Saya pikir keduanya berguna untuk gambaran lengkap tentang pentingnya konvolusi. Namun, dalam kasus diskrit, mengabaikan sistem linear sepenuhnya, ada perasaan di mana konvolusi adalah ide yang jauh lebih tua.
Perkalian Polinomial
Satu presentasi bagus dari gagasan bahwa konvolusi diskrit hanyalah penggandaan polinomial yang diberikan oleh Gilbert Strang dalam kuliah ini mulai sekitar 5:46. Dari perspektif itu, ide tersebut kembali ke pengenalan sistem bilangan posisional (yang mewakili bilangan secara implisit sebagai polinomial). Karena Z-transform mewakili sinyal sebagai polinomial dalam z, konvolusi akan muncul dalam konteks itu juga - bahkan jika Z-transform didefinisikan secara formal sebagai operator penundaan tanpa bantuan analisis kompleks dan / atau sebagai kasus khusus Laplace Transformasi .