Fungsi Kerugian Persentil

11

Solusi untuk masalah ini:

min_{m} E [| m - X |]

$\min_{m} \; E[|m-X|]$

dikenal sebagai median $X$ , tetapi seperti apa fungsi kerugian untuk persentil lainnya? Contoh: persentil X ke-25 adalah solusi untuk:

min_{m} E [L (m, X)]

$\min_{m} \; E[ L(m,X) ]$

Apa $L$ dalam kasus ini?

expected-value loss-functions

— Cam.Davidson.Pilon
sumber

12

Biarkan $I$ menjadi fungsi indikator: itu sama dengan $1$ untuk argumen benar dan $0$ sebaliknya. Pilih $0\lt\alpha\lt 1$ dan atur

Λ_{α} (x) = α x I (x \geq 0) - (1 - α) x I (x < 0) .

$\Lambda_\alpha(x)=\alpha x\, I(x\ge 0) - (1-\alpha)x\, I(x\lt 0).$

Angka

Angka ini menggambarkan $\Lambda_{1/5}$ . Ini menggunakan rasio aspek yang akurat untuk membantu Anda mengukur lereng, yang sama dengan $-4/5$ di sisi kiri dan $+1/5$ di kanan. Dalam hal ini kunjungan di atas $0$ mengalami penurunan berat dibandingkan dengan kunjungan di bawah $0$ .

Ini adalah fungsi alami untuk dicoba karena bobot nilai yang melebihi berbeda dari yang kurang dari . Mari kita menghitung kerugian yang terkait dan kemudian mengoptimalkannya. $x$ $0$ $x$ $0$

Menulis untuk fungsi distribusi dan pengaturan , hitung $F$ $X$ $L_\alpha(m,x) = \Lambda_\alpha(x-m)$

\begin{aligned} E_{F} (L_{α} (m, X)) & = \int_{R} Λ_{α} (x - m) d F (x) \\ = α \int_{R} I (x \geq m) (x - m) d F (x) - (1 - α) \int_{R} (x - m) I (x < m) d F (x) \\ = α \int_{m}^{\infty} (x - m) d F (x) - (1 - α) \int_{- \infty}^{m} (x - m) d F (x) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}_F(L_\alpha(m,X))&=\int_\mathbb{R} \Lambda_\alpha(x-m)dF(x)\\ &=\alpha\int_\mathbb{R} I(x\ge m)(x-m) dF(x) - (1-\alpha)\int_\mathbb{R} (x-m)I(x\lt m) dF(x)\\ &=\alpha\int_m^\infty(x-m)dF(x) - (1-\alpha)\int_{-\infty}^m(x-m) dF(x). }$

Gambar 2

Karena bervariasi dalam ilustrasi ini dengan distribusi Normal Standar , area tertimbang probabilitas total dari diplot. (Kurva adalah grafik .) Plot sebelah kanan untuk paling jelas menunjukkan efek menurunkan bobot nilai-nilai positif, karena tanpa menurunkan plot ini plot akan simetris tentang asalnya. Plot tengah menunjukkan yang optimal, di mana jumlah total tinta biru (mewakili ) sekecil mungkin. $m$ $F$ $\Lambda_{1/5}$ $\Lambda_{1/5}(x-m)dF(x)$ $m=0$ $\mathbb{E}_F(L_{1/5}(m,X))\$

Fungsi ini dapat dibedakan sehingga ekstremanya dapat ditemukan dengan memeriksa titik-titik kritis. Menerapkan Aturan Rantai dan Teorema Dasar Kalkulus untuk mendapatkan turunan sehubungan dengan memberi $m$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial m} E_{F} (L_{α} (m, X)) & = α (0 - \int_{m}^{\infty} d F (x)) - (1 - α) (0 - \int_{- \infty}^{m} d F (x)) \\ = F (m) - α . \end{aligned}

$\eqalign{ \frac{\partial}{\partial m}\mathbb{E}_F(L_\alpha(m,X))&=\alpha\left(0-\int_m^\infty dF(x)\right) - (1-\alpha)\left(0 - \int_{-\infty}^m dF(x)\right)\\ &= F(m) - \alpha. }$

Untuk distribusi kontinu ini selalu memiliki solusi yang, menurut definisi, adalah setiap kuantil dari . Untuk distribusi non-kontinu ini mungkin tidak memiliki solusi tetapi akan ada setidaknya satu yang mana untuk semua dan untuk semua : ini juga (dengan definisi) adalah kuantil dari . $m$ $\alpha$ $X$ $m$ $F(x)-\alpha\lt 0$ $x\lt m$ $F(x)-\alpha\ge 0$ $x\ge m$ $\alpha$ $X$

Akhirnya, karena dan , jelas bahwa atau akan meminimalkan kehilangan ini. Itu melelahkan pemeriksaan titik-titik kritis, menunjukkan bahwa sesuai dengan tagihan. $\alpha\ne 0$ $\alpha\ne 1$ $m\to-\infty$ $m\to\infty$ $\Lambda_\alpha$

Sebagai kasus khusus, adalah kerugian yang ditunjukkan dalam pertanyaan. $\mathbb{E}_F(2L_{1/2}(m,X)) = \mathbb{E}_F\left(\left|m-x\right|\right)$

— whuber
sumber

Saya menghargai upaya yang Anda lakukan untuk menunjukkan kerugian yang diharapkan diminimalkan pada titik yang benar . Saya ingin tahu bagaimana melakukannya sendiri untuk jawaban saya sendiri, tetapi penjelasan Anda bagus. (+1)

m

$m$

2

Anda telah membuktikan bahwa gambar bernilai 1000 kata. Terima kasih @whuber =)

— Cam.Davidson.Pilon

8

Artikel ini memiliki jawaban Anda. Untuk lebih spesifik, Fungsi kerugian dapat diartikan sebagai 'menyeimbangkan' wilayah massa probabilitas yang berbeda di sekitar melalui pengurangan . Untuk median, wilayah massa ini sama: menjadikan fungsi kerugian proporsional (dengan harapan konstanta diabaikan) ke yang memberikan kesimpulan yang diinginkan untuk median.

L_{0.25} (m, X) = | (X - m) (0.25 - 1 {X > m}) | .

$L_{0.25}(m,X) = \left| \left( X - m \right) \left(0.25 - \mathbf{1}\{ X > m \} \right) \right|.$

0.25

$0.25$

0.25 - 1 {X > m}

$0.25 - \mathbf{1}\{ X > m \}$

L_{0.5} (m, X) = | (X - m) (0.5 - 1 {X > m}) | = | (X - m) \times \pm 0.5 |,

$L_{0.5}(m,X) = \left| \left( X - m \right) \left(0.5 - \mathbf{1}\{ X > m \} \right) \right| = \left| \left( X - m \right) \times \pm 0.5 \right|,$

| X - m |,

$\left| X - m\right|,$

(+1) Bagus! - tidak jelas ke mana harus mencari artikel Wikipedia itu; Anda harus memikirkan regresi kuantil.

— whuber

Terima kasih, @Matthew, ini merupakan penemuan yang bagus. Saya suka menyeimbangkan interpretasi

— Cam.Davidson.Pilon

Saya masih gagal memahami. Dari mana ini berasal? Jika X di atas jumlah, mendapat bobot 0,75, jika tidak 0,25? Hanya itu?

| (0.25) - 1 X > m) |

$|(0.25)-\mathbb{1}{X>m})|$

(X - m)

$(X-m)$

— IcannotFixIni