Bagaimana menemukan kepadatan dari fungsi karakteristik?

Distribusi memiliki fungsi karakteristik

ϕ (t) = (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4), - \infty < t < \infty

$\phi(t) = (1-t^2/2)\exp(-t^2/4),\ -\infty \lt t \lt \infty$

Tunjukkan bahwa distribusi benar - benar kontinu dan tulis fungsi kepadatan distribusi.

Mencoba:

\int_{- \infty}^{\infty} | (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4) | d t = (- 2 / t) (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4) - 2 \exp (- t^{2} / 4) |_{- \infty}^{0}

$\int_{-\infty}^{\infty}|(1-t^2/2)\exp(-t^2/4)|dt =(-2/t)(1-t^2/2)\exp(-t^2/4)-2\exp(-t^2/4)|_{-\infty}^{0}$

Hasil serupa untuk karena kuadrat. $[0,\infty]$ $t$

Saya tidak yakin saya melakukan integrasi dengan benar, tetapi jika saya dapat menunjukkan bahwa nilai absolut dari kurang dari , maka fungsinya benar-benar kontinu. $\phi(t)$ $\infty$

— statsguyz
sumber

Gunakan untuk untuk setiap polinomial . Ini memastikan bahwa kedua ekor tidak dapat diintegrasikan.

p (t) / \exp (t^{2}) \to 0

$p(t)/\exp(t^2)\to 0$

t \to \pm \infty

$t\to \pm\infty$

p

$p$

— Stefan Hansen

Fungsi kepadatan ditemukan dengan transformasi Fourier terbalik. Fungsi kepadatan distribusi, jika kepadatan tersebut ada, akan diberikan oleh

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- i t x} ϕ (x) d x = \frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- i t x} ((1 - x^{2} / 2) e^{- x^{2} / 4}) d x .

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\phi(x) dx = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\left((1-x^2/2)e^{-x^2/4}\right) dx .$

Integral ini dapat dibagi menjadi dua, yang masing-masing memiliki integand bentuk

\exp (- Q_{t} (x)) x^{2 k}

$\exp(-Q_t(x))x^{2k}$

di mana adalah bentuk kuadratik dengan istilah memimpin negatif dan adalah bilangan bulat non-negatif. Ini membuat setiap integrand fungsi Schwartz (menurun cepat) , memastikan integrabilitasnya untuk setiap . Integrabilitas membuktikannya kontinu ; penurunan cepat membuktikan itu benar-benar kontinu. Integral mudah dilakukan dengan melengkapi kuadrat dalam eksponensial, menguranginya menjadi kelipatan momen genap dari distribusi Gaussian. Hasilnya adalah $Q_t$ $k$ $t$

f (t) = \frac{2}{\sqrt{π}} t^{2} e^{- t^{2}} .

$f(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} t^2 e^{-t^2}.$

Kontinuitas $f$ menegaskan kesimpulan sebelumnya dari kontinuitas absolut dari distribusi.

Plot f

Kuadrat dari variabel (simetris) ini memiliki Gamma $(3/2, 1)$ distribusi.

Atau, orang mungkin mengenalinya

ϕ (t) = - 2 (- \frac{1}{2} + \frac{t^{2}}{4}) e^{- t^{2} / 4} = (- i)^{2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} 2 e^{- t^{2} / 4}

$\phi(t) = -2\left(-\frac{1}{2} + \frac{t^2}{4}\right)e^{-t^2/4} = (-i)^2\frac{d^2}{dt^2}2e^{-t^2/4}$

sebanding dengan turunan kedua dari Gaussian $e^{-t^2/4}$ , menyiratkan (karena operator $-id/dt$ pada fungsi karakteristik setara dengan perkalian fungsi distribusi oleh variabel) yang kepadatan $f(x)$ ada dan sebanding dengan $x^2$ kali kepadatan yang cf $2e^{-t^2/4}$ . Itu segera dikenali sebagai distribusi Gaussian (Normal) dengan kepadatan sebanding dengan $e^{-x^2}$ . Pada titik ini yang harus dilakukan adalah menentukan konstanta normalisasi $2/\sqrt{\pi}$ melalui integrasi atau dengan menghitung varian dari distribusi Normal dengan standar deviasi $\sqrt{1/2}$ .

— whuber
sumber