Distribusi hasil bagi Rayleigh

Untuk proyek penelitian saya perlu menemukan nilai yang diharapkan dari hasil bagi Rayleigh secara umum:

E [w^{T} A w / w^{T} B w] .

$E\,[w^T A w \ / \ w^T B w].$ Berikut A dan B adalah positif pasti deterministik p x p matriks kovarians, dan w mengikuti distribusi multivariat dengan garis-garis ketinggian melingkar (katakanlah, multivariat standar normal). Dimensi p lebih besar dari 100.

Masalah ini mudah diselesaikan menggunakan simulasi; Namun, saya bertanya-tanya apakah seseorang mungkin tahu bagaimana masalah ini dapat diselesaikan (atau diperkirakan) secara analitis. Gagasan pertama saya adalah bahwa mungkin oleh teorema limit pusat Lindeberg atau Lyapunov baik pembilang dan penyebutnya kira-kira terdistribusi normal, yang memberi kita rasio dua variabel acak normal (berkorelasi), tetapi simulasi menunjukkan bahwa bukan itu masalahnya.

distributions expected-value

— Statistik
sumber

Apakah Anda tahu hal lain tentang hubungan antara

A

$A$ dan

B

$B$ atau properti di luar kepastian positif hanya? Di bawah interpretasi tertentu dari "distribusi lingkaran" (yaitu, invarian di bawah transformasi ortogonal), kita dapat mengasumsikan bahwa

A

$A$ atau

B

$B$ diagonal. Tidak ada asumsi kepastian positif dari keduanya yang diperlukan untuk itu.

— kardinal

A dan B adalah matriks korelasi. Mereka sangat mirip, tetapi tidak identik.

— Stats

Mungkin pilihan saya untuk "distribusi sirkuler" tidak ideal. Yang saya maksud adalah distribusi elips di mana variabel acak w_i independen - misalnya distribusi normal standar.

— Stats

Dalam kasus distribusi normal, solusi dapat ditemukan di Mathai dan Provost, bentuk kuadratik dalam variabel acak (1992). Momen kebalikan dan produk dari bentuk kuadratik tersebut diturunkan dari fungsi menghasilkan momen.

Bentuk kuadrat dalam distribusi eliptik dan momen-momen mereka diperlakukan dalam Mathai, Provost dan Hayakawa, Bilinear bentuk dan polinomial zonal (1995), tetapi tidak dengan perpanjangan yang sama seperti pada kasus normal. Karena distribusi elips biasanya didefinisikan berdasarkan fungsi karakteristiknya $e^{it\mu}\xi(t'\Sigma t)$ , fungsi ini $\xi$ akan muncul dalam solusi jika seseorang memilih pendekatan mgf. Namun, itu tidak pernah dihitung, afaik.

— Horst Grünbusch
sumber