Bagaimana cara mendapatkan distribusi Poisson dari distribusi gamma?

Misalkan menjadi urutan dari variabel acak eksponensial dengan parameter . Jumlah adalah distribusi Gamma. Sekarang saya mengerti distribusi Poisson didefinisikan oleh sebagai berikut: $T_1, T_2, \dots$ $\lambda$ $S_n = T_1 + T_2 + \dots + T_n$ $N_t$

N_{t} = max {k : S_{k} \leq t}

$N_t = \max\{k: S_k \le t\}$

Bagaimana cara saya menunjukkan secara formal bahwa $N_t$ adalah variabel acak Poisson?

Ada saran yang dihargai. Saya mencoba mencari sejumlah bukti tetapi tidak bisa sampai ke persamaan final.

Referensi

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

— pengguna862
sumber

@ user862, bukti yang saya tahu tidak begitu langsung. Durrett memiliki derivasi dalam buku probabilitasnya yang cukup bersih. Butuh 3-4 halaman, saya pikir; yang, jika Anda sudah membaca salah satu bukunya, adalah bukti yang panjang menurut standarnya. Resnick mengambil pendekatan yang sedikit lebih abstrak dalam teks proses stokastiknya. Namun, membangun dan menggunakan palu yang lebih besar memungkinkannya mendapatkan hasil yang lebih umum. Ross tidak diragukan lagi memiliki perawatan dalam buku proses stokastiknya, tetapi saya tidak terlalu terbiasa dengannya.

— kardinal

Menemukan buktinya dalam buku Durrett. Ini dijelaskan dengan sangat jelas. Terima kasih untuk petunjuknya.

— user862

Saya yakin bahwa bukti Durrett bagus. Solusi langsung ke pertanyaan yang diajukan adalah sebagai berikut.

Untuk $n \geq 1$

\begin{array}{rcl} P (N_{t} = n) & = & \int_{0}^{t} P (S_{n + 1} > t ∣ S_{n} = s) P (S_{n} \in d s) \\ = & \int_{0}^{t} P (T_{n + 1} > t - s) P (S_{n} \in d s) \\ = & \int_{0}^{t} e^{- λ (t - s)} \frac{λ^{n} s^{n - 1} e^{- λ s}}{(n - 1)!} d s \\ = & e^{- λ t} \frac{λ^{n}}{(n - 1)!} \int_{0}^{t} s^{n - 1} d s \\ = & e^{- λ t} \frac{(λ t)^{n}}{n!} \end{array}

$\begin{array}{rcl} P(N_t = n) & = & \int_0^t P(S_{n+1} > t \mid S_n = s) P(S_n \in ds) \\ & = & \int_0^t P(T_{n+1} > t-s) P(S_n \in ds) \\ & = & \int_0^t e^{-\lambda(t-s)} \frac{\lambda^n s^{n-1} e^{-\lambda s}}{(n-1)!} \mathrm{d} s \\ & = & e^{-\lambda t} \frac{\lambda^n }{(n-1)!} \int_0^t s^{n-1} \mathrm{d} s \\ & = & e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n!} \end{array}$

Untuk kita memiliki . $n = 0$ $P(N_t = 0) = P(T_1 > t) = e^{-\lambda t}$

Ini tidak membuktikan bahwa adalah proses Poisson, yang lebih sulit, tetapi itu menunjukkan bahwa distribusi marjinal adalah Poisson dengan mean . $(N_t)_{t \geq 0}$ $N_t$ $\lambda t$

— NRH
sumber

(+1) Menarik untuk kepadatan bersyarat tidak sepenuhnya diperlukan di sini. Perhatikan bahwa dan kita hanya perlu mengintegrasikan kerapatan sambungan di atas wilayah . Karena dan bersifat independen, ini adalah pekerjaan yang mudah.

P (N_{t} = n) = P (S_{n} \leq t, S_{n + 1} > t) = P (S_{n} \leq t, S_{n} + T_{n + 1} > t)

$\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\Pr(N_t = n) = \Pr(S_n \leq t, S_{n+1} > t) = \Pr(S_n \leq t, S_n + T_{n+1} > t)$

{(s_{n}, t_{n + 1}) : 0 \leq s_{n} \leq t, t_{n + 1} > t - s_{n}} \subset R^{2}

$\{(s_n, t_{n+1}): 0 \leq s_n \leq t, t_{n+1} > t - s_n\} \subset \mathbb{R}^2$

S_{n}

$S_n$

T_{n + 1}

$T_{n+1}$

— kardinal

@ cardinal - dan bagaimana jawaban @ NRH tidak langsung? Sebenarnya saya akan mengatakan ini lebih mudah, karena hanya 1 integrasi yang diperlukan.

— probabilityislogic

@probabilityislogic: Referensi "langsung" saya hanyalah komentar tentang sisa perhitungan yang tidak ditampilkan dalam komentar saya. Itu tidak dimaksudkan dalam arti relatif sehubungan dengan jawaban @ NRH.

— kardinal

@probabilityislogic: Ada cukup banyak (tambahan) teori yang bersembunyi di dua baris pertama bukti @ NRH. Inti dari komentar saya adalah bahwa kita bisa mendapatkan hasil yang sama dengan hanya menggunakan barebone dari distribusi probabilitas gabungan, yaitu hanya ukuran produk. Dalam pandangan saya, ini adalah dasar perhitungan yang lebih sederhana daripada memperkenalkan harapan bersyarat dan pembenaran yang diperlukan untuk beralih dari baris satu ke dua jawaban @ NRH. Saya tidak bermaksud bahwa sebagai kritik dengan cara apa pun, maksud saya hanya untuk memberikan metode alternatif.

— kardinal