Transformasi Anscombe dan perkiraan normal

The Anscombe transformasi adalah . $a(x) = 2\sqrt{x+3/8}$

Adakah yang bisa menunjukkan kepada saya bagaimana membuktikan bahwa versi Anscombe-transformed dari variabel acak terdistribusi Poisson kira-kira terdistribusi normal (ketika )? $Y = a(X)$ $X$ $\lambda>4$

distributions normal-distribution poisson-distribution

— MarkDollar
sumber

Petunjuk : Metode Delta. (Juga, lihat transformasi penstabilan varian , yang merupakan bagian dari motivasi.)

— kardinal

Mpikts terima kasih! Saya akan cukup jujur, saya tidak benar-benar mengerti bagaimana memulainya. Apa alat utama dan "awal" yang harus saya buktikan ini?

— MarkDollar

Berikut ini adalah sketsa bukti yang menggabungkan tiga gagasan: (a) metode delta, (b) transformasi varians-stabilisasi dan (c) penutupan distribusi Poisson di bawah jumlah independen.

Pertama, mari kita pertimbangkan urutan variabel acak Poisson iid dengan mean . Kemudian, Teorema Limit Pusat menyatakan bahwa $X_1, X_2, \ldots$ $\lambda > 0$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - λ) \overset{d}{\to} N (0, λ) .

$\newcommand{\barX}{\bar{X}_n}\newcommand{\convd}{\,\xrightarrow{\,d\,}\,}\newcommand{\Nml}{\mathcal{N}} \sqrt{n} (\barX - \lambda) \convd \Nml(0,\lambda) \> .$

Perhatikan bahwa varians asimptotik tergantung pada parameter (mungkin tidak diketahui) . Alangkah baiknya jika kita dapat menemukan beberapa fungsi data selain sedemikian rupa sehingga, setelah memusatkan dan menskalakan kembali, ia memiliki varian asimtotik yang sama tidak peduli apa pun parameter . $\lambda$ $\bar{X}_n$ $\lambda$

The Metode delta menyediakan cara berguna untuk menentukan distribusi fungsi kelancaran beberapa statistik yang membatasi distribusi sudah dikenal. Biarkan menjadi fungsi dengan turunan pertama kontinu sehingga . Kemudian, dengan metode delta (khusus untuk kasus minat khusus kami), $g$ $g'(\lambda) \neq 0$

\sqrt{n} (g ({\bar{X}}_{n}) - g (λ)) \overset{d}{\to} N (0, λ g^{'} (λ)^{2}) .

$\sqrt{n}\big(g(\barX) - g(\lambda)\big) \convd \Nml(0, \lambda g'(\lambda)^2) \>.$

Jadi, bagaimana kita dapat membuat varians asimptotik konstan (katakanlah, nilai ) untuk semua kemungkinan ? Dari ungkapan di atas, kita tahu kita harus menyelesaikannya $1$ $\lambda$

g^{'} (λ) = λ^{- 1 / 2} .

$g'(\lambda) = \lambda^{-1/2} \>.$

Tidak sulit untuk melihat bahwa antiderivatif umum adalah untuk sembarang , dan distribusi pembatasnya tidak sama dengan pilihan (dengan pengurangan), sehingga kita dapat mengatur tanpa kehilangan keumuman. Fungsi itu disebut transformasi penstabilan varian . $g(\lambda) = 2 \sqrt{\lambda} + c$ $c$ $c$ $c = 0$ $g$

Oleh karena itu, dengan metode delta dan pilihan kami , kami menyimpulkan bahwa $g$

\sqrt{n} (2 \sqrt{{\bar{X}}_{n}} - 2 \sqrt{λ}) \overset{d}{\to} N (0, 1) .

$\sqrt{n}\Big(2\sqrt{\barX} - 2\sqrt{\lambda}\Big) \convd \Nml(0, 1) \>.$

Sekarang, distribusi Poisson ditutup dengan jumlah independen. Jadi, jika adalah Poisson dengan mean , maka ada variabel acak yang iid Poisson dengan mean sehingga memiliki distribusi yang sama dengan . Ini memotivasi perkiraan dalam kasus variabel acak Poisson tunggal. $X$ $\lambda$ $Z_1, \ldots, Z_n$ $\lambda/n$ $\sum_{i=1}^n Z_i$ $X$

Apa yang ditemukan Anscombe (1948) adalah bahwa memodifikasi transformasi (sedikit) menjadi untuk beberapa konstanta sebenarnya bekerja lebih baik untuk lebih kecil . Dalam hal ini, adalah tentang optimal. $g$ $\tilde{g}(\lambda) = 2\sqrt{\lambda + b}$ $b$ $\lambda$ $b = 3/8$

Perhatikan bahwa modifikasi ini "Menghancurkan" properti varians-menstabilkan benar , yaitu, adalah tidak varians-menstabilkan dalam arti sempit. Tapi, itu dekat dan memberikan hasil yang lebih baik untuk lebih kecil . $g$ $\tilde{g}$ $\lambda$

— kardinal
sumber