Hyper-volume kontur dari Gaussian multivarian

Saya mencari assymptotic yang ( ) nilai (log dari penentu) kovarians dari % dari pengamatan dengan jarak Eucledian terkecil ke asal dalam sampel berukuran diambil dari, katakanlah , Gaussian standar bivariat. $n\rightarrow \infty$ $\alpha$ $n$

- Volume hiper-elips sebanding dengan faktor penentu matriks kovariansnya, maka judulnya--

--Dengan standar bivariat Gaussian, maksud saya mana adalah vektor 0 dengan panjang 2 dan adalah matriks identitas peringkat 2 .--- $\mathcal{N}_2(0_2,\pmb I_2)$ $0_2$ $\pmb I_2$

Mudah dilihat dengan simulasi daripada saat sekitar : $\alpha=52/70$ $\approx -1.28$

library(MASS)
n<-10000
p<-2
x<-mvrnorm(n,rep(0,p),diag(2))
h<-ceiling(0.714286*n)
p<-ncol(x)
w<-mahalanobis(x,rep(0,p),diag(p),inverted=TRUE) #These are eucledian distances, because the covariance used is the identity matrix
s<-(1:n)[order(w)][1:h]
log(det(cov(x[s,])))

tapi saya tidak ingat bagaimana mendapatkan ekspresi yang tepat (atau gagal itu, perkiraan yang lebih baik) untuk ini.

r mathematical-statistics simulation

— pengguna603
sumber

Dalam teks Anda, Anda tidak mengatakan apa-apa tentang parameter distribusi bivariat. Juga, sepertinya kode Anda adalah tentang Mahalanobis d, bukan Euclidean d.

— ttnphns

Dengan standar gaussian yang saya maksud adalah yang berpusat pada titik asal dan dengan kovarian Identitas (saya akan mengeditnya). Jarak mahalanobis ke matriks kovarians Identitas == Jarak Eucledian.

— user603

Jika Anda menggunakan kode, atau mencari bantuan dengan kode, harap sebutkan bahasa atau program apa yang Anda gunakan.

— serigala

Ok, pertanyaan ini sepertinya muncul dari waktu ke waktu jadi saya pikir saya akan memberikan jawaban umum.

Dalam [1], penulis menunjukkan bahwa jika dengan symmetric positive definite positive, dan $\pmb x_i\sim \mathcal{N}_p(\pmb \mu,\pmb \varSigma),i=1,\ldots,n$ $\varSigma$ $S_{\alpha}$

\begin{matrix} (0) & S_{α} = {i : (x x_{i} - μ μ)^{'} Σ^{- 1} (x x_{i} - μ μ) ⩽ q_{α}} \end{matrix}

$S_{\alpha}=\{i: (\pmb x_i-\pmb\mu)'\varSigma^{-1}(\pmb x_i-\pmb\mu)\leqslant q_{\alpha}\}\label{a}\tag{0}$

untuk dan $q_{\alpha}=\chi^2_{p}(\alpha),\;0<\alpha\leqslant 1$

\begin{matrix} (1) & C_{α} = {cov}_{i \in S_{α}} x x_{i} \end{matrix}

$C_{\alpha}=\mbox{cov}_{i\in S_{\alpha}}\pmb x_i\label{b}\tag{1}$

Kemudian, asimptotik, konvergen ke mana $C_{\alpha}$ $l_{\alpha}\varSigma$

\begin{matrix} (2) & l_{α} = \frac{F_{χ_{p + 2}^{2} (q_{α})}}{α} \end{matrix}

$l_{\alpha}=\frac{ F_{\chi^2_{p+2}(q_{\alpha})} }{\alpha}\label{c}\tag{2}$

Perkiraan ini sangat bagus (di sini untuk alpha = 60/70):

library(MASS)
alpha<-60/70
p<-2
n<-1000000

radius<-sqrt(qchisq(alpha,df=p))
x0<-mvrnorm(n,rep(0,p),diag(p),empirical=TRUE)
Id<-which(rowSums(x0*x0)<=radius**2)
cov(x0[Id,])

qalpa<-qchisq(alpha,p)
diag(1/(alpha/(pchisq(qalpa,p+2))),p)

Jadi, akhirnya, untuk menjawab pertanyaan, penentu dari matriks kovarians dari pengamatan dengan norma Eucledian terkecil dengan asal (ini adalah kasus khusus di mana dan ) diberikan oleh: $\log$ $[\alpha n]$ $\varSigma=\pmb I_p$ $\pmb \mu=\pmb 0_p$

\begin{matrix} (3) & p \log F_{χ_{p + 2}^{2} (q_{α})} - p \log α \end{matrix}

$p\log F_{\chi^2_{p+2}(q_{\alpha})}-p\log\alpha\label{d}\tag{3}$

Croux C., Haesbroeck G. (1999). Pengaruh fungsi dan efisiensi estimator matriks penentu kovariansi penentu minimum. Jurnal Analisis Multivariat. 71. 161--190.

— pengguna603
sumber