Apakah korelasi non-nol menyiratkan ketergantungan?

17

Kita tahu fakta bahwa nol korelasi tidak menyiratkan independensi. Saya tertarik pada apakah korelasi non-nol menyiratkan ketergantungan - yaitu jika untuk beberapa variabel acak dan , dapatkah kita katakan secara umum bahwa ? $\text{Corr}(X,Y)\ne0$ $X$ $Y$ $f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

correlation independence

— Comp_Warrior
sumber

13

Ya karena

Corr (X, Y) \neq 0 \Rightarrow Cov (X, Y) \neq 0

$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \text{Cov}(X,Y)\ne0$

\Rightarrow E (X Y) - E (X) E (Y) \neq 0

$\Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) \ne 0$

\Rightarrow \int \int x y f_{X, Y} (x, y) d x d y - \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y \neq 0

$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int xf_X(x) dx\int yf_Y(y)dy \ne 0$

\Rightarrow \int \int x y f_{X, Y} (x, y) d x d y - \int \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y \neq 0

$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int \int xyf_X(x) f_Y(y)dxdy \ne 0$

\Rightarrow \int \int x y [f_{X, Y} (x, y) - f_{X} (x) f_{Y} (y)] d x d y \neq 0

$\Rightarrow \int \int xy \big[f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y)\big]dxdy \ne 0$

yang tidak mungkin jika . Begitu $f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y) =0,\;\; \forall \{x,y\}$

Corr (X, Y) \neq 0 \Rightarrow \exists {x, y} : f_{X, Y} (x, y) \neq f_{X} (x) f_{Y} (y)

$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \exists \{x,y\}:f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

Pertanyaan: apa yang terjadi dengan variabel acak yang tidak memiliki kepadatan?

— Alecos Papadopoulos
sumber

1

Alecos, saya punya pertanyaan bodoh. Apa arti dari panah mewah, misalnya, baris 1? Saya membayangkan sesuatu seperti "menyiratkan," tapi saya tidak yakin.

— Sycorax berkata Reinstate Monica

2

@ user777 Maksud Anda

? Memang, itu berarti "menyiratkan".

\Rightarrow

$\Rightarrow$

— Alecos Papadopoulos

Alasan untuk hanya menggunakan panah implikasi dalam argumen informal: apakah panah implikasi asosiatif kiri atau kanan?

— kasterma

\implies menghasilkan

⟹

$\implies$ yang terlihat lebih baik daripada \rightarowyang menghasilkan

.

\Rightarrow

$\Rightarrow$

— Dilip Sarwate

14

Misalkan dan menunjukkan variabel acak sehingga dan adalah terbatas. Kemudian, , dan semuanya terbatas. $X$ $Y$ $E[X^2]$ $E[Y^2]$ $E[XY]$ $E[X]$ $E[Y]$

Membatasi perhatian kita pada variabel acak seperti itu, misalkan menyatakan pernyataan bahwa dan adalah variabel acak independen dan pernyataan bahwa dan adalah variabel acak tidak berkorelasi , yaitu, . Kemudian kita tahu bahwa menyiratkan , yaitu, variabel acak independen adalah variabel acak tidak berkorelasi. Memang satu definisi $A$ $X$ $Y$ $B$ $X$ $Y$ $E[XY] = E[X]E[Y]$ $A$ $B$ variabel acak independen adalah bahwa sama dengan untuk semua fungsi yang dapat diukur dan ). Ini biasanya dinyatakan sebagai $E[g(X)h(Y)]$ $E[g(X)]E[h(Y)]$ $g(\cdot)$ $h(\cdot)$ Tapi

A ⟹ B .

$A \implies B.$

secara logis setara dengan

A ⟹ B

$A \implies B$

, yaitu,

\neg B ⟹ \neg A

$\neg B \implies \neg A$

correlated random variables are dependent random variables.

If $E[XY]$ , $E[X]$ or $E[Y]$ are not finite or do not exist, then it is not possible to say whether $X$ and $Y$ are uncorrelated or not in the classical meaning of uncorrelated random variables being those for which $E[XY] = E[X]E[Y]$ . For example, $X$ and $Y$ could be independent Cauchy random variables (for which the mean does not exist). Are they uncorrelated random variables in the classical sense?

— Dilip Sarwate
sumber

3

The nice thing about this answer is that it applies whether or not the random variables in question admit a density function, as opposed to other answers on this thread. This is true due to the fact that expectations can be defined with Stieltjes integrals using the CDF, with no mention of the density.

— ahfoss

1

Here a purely logical proof. If $A\rightarrow B$ then necessarily $\neg B \rightarrow \neg A$ , as the two are equivalent. Thus if $\neg B$ then $\neg A$ . Now replace $A$ with independence and $B$ with correlation.

Think about a statement "if volcano erupts there are going to be damages". Now think about a case where there are no damages. Clearly a volcano didn't erupt or we would have a condtradicition.

Similarly, think about a case "If independent $X,Y$ , then non-correlated $X,Y$ ". Now, consider the case where $X,Y$ are correlated. Clearly they can't be independent, for if they were, they would also be correlated. Thus conclude dependence.

— Tony
sumber

If you will read my answer carefully, you will see that I too used the argument that you have made in your answer, namely that

A ⟹ B

$A \implies B$ is the same as

\neq B ⟹ \neg A

$\neq B \implies \neg A$ .

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Edited to reflect that.

— Tony