Tes untuk membedakan data periodik dari hampir periodik

Misalkan saya memiliki beberapa fungsi yang tidak diketahui $f$ dengan domain , yang saya tahu memenuhi beberapa kondisi wajar seperti kontinuitas. Saya tahu nilai pasti dari (karena data berasal dari simulasi) di beberapa titik pengambilan sampel yang sama t_i = t_0 + iΔt dengan i∈ \ {1,…, n \} , yang saya anggap cukup baik untuk menangkap semua aspek yang relevan dari f , misalnya, saya dapat berasumsi bahwa paling tidak ada satu ekstrim lokal f di antara dua titik pengambilan sampel. Saya mencari tes yang memberi tahu saya apakah data saya sesuai dengan f yang benar-benar periodik, yaitu, ∃τ: f (t + τ) = f (t) \, ∀ \, t$ℝ$$f$$t_i=t_0 + iΔt$$i∈\{1,…,n\}$$f$$f$$f$$∃τ: f(t+τ)=f(t) \,∀\,t$, dengan panjang periode agak beresonansi, misalnya $Δt < τ < n·Δt$ (tapi bisa dibayangkan bahwa saya dapat membuat kendala yang lebih kuat, jika diperlukan).

Dari sudut pandang lain, saya memiliki data ${x_0, …, x_n}$ dan saya sedang mencari tes yang menjawab pertanyaan apakah fungsi periodik $f$ (memenuhi kondisi seperti di atas) ada sedemikian sehingga $f(t_i)=x_i ∀ i$ .

Poin penting adalah bahwa $f$ setidaknya sangat dekat dengan periodisitas (bisa jadi misalnya $f(t) := \sin(g(t)·t)$ atau $f(t) := g(t)·\sin(t)$ dengan $g'(t) ≪ g(t_0)/Δt$ ) sejauh mengubah satu titik data dengan jumlah kecil mungkin cukup untuk membuat data mematuhi $f$ menjadi tepat secara berkala. Jadi alat standar untuk analisis frekuensi seperti transformasi Fourier atau menganalisis zero crossing tidak akan banyak membantu.

Perhatikan bahwa tes yang saya cari kemungkinan tidak akan probabilistik.

Saya memiliki beberapa ide bagaimana merancang tes seperti itu sendiri tetapi ingin menghindari menciptakan kembali roda. Jadi saya mencari tes yang ada.

Seperti yang saya katakan, saya punya ide bagaimana melakukan ini, yang saya sadari, perbaiki dan menulis makalah tentang, yang sekarang diterbitkan: Chaos 25, 113106 (2015) - pracetak pada ArXiv .

Kriteria yang diselidiki hampir sama dengan sketsa dalam pertanyaan: Data yang diberikan disampel pada titik waktu , , tes memutuskan apakah ada fungsi dan sedemikian rupa sehingga:$x_1, \ldots, x_n$$t_0, t_0 + Δt, \ldots, t_0 + nΔt$$f: [t_0, t_0 + Δt] → ℝ$$τ ∈ [2Δt,(n-1)Δt]$

• $f(t_0 + iΔt)=x_i\quad \forall i∈\{1,…,n\}$
• $f(t+τ)=f(t) \quad∀t∈[t_0, t_0 + Δt-τ]$
• $f$ memiliki ekstrim tidak lebih lokal daripada urutan , dengan kemungkinan pengecualian dari paling banyak satu ekstrem dekat dengan awal dan akhir masing-masing.$x$$f$

Tes dapat dimodifikasi untuk memperhitungkan kesalahan kecil, seperti kesalahan numerik dari metode simulasi.

^{Saya harap makalah saya juga menjawab mengapa saya tertarik pada tes semacam itu.}

Ubah data menjadi domain frekuensi menggunakan diskrit Fourier transform (DFT). Jika data periodik sempurna, akan ada tepat satu nampan frekuensi dengan nilai tinggi, dan nampan lainnya akan nol (atau mendekati nol, lihat kebocoran spektral).

Perhatikan bahwa resolusi frekuensi diberikan oleh . Jadi ini menetapkan batas untuk ketepatan deteksi.$\frac{\text{sampling frequency}}{\text{Number of samples}}$

Jika Anda tahu sinyal periodik aktual, hitung

$\text{difference} = \Big|\text{theoretical data} - \text{measured data}\big|$

Kemudian jumlah elemen . Jika di atas ambang batas (pertimbangkan kesalahan dari aritmatika titik apung) data tidak periodik.$\text{difference}$