Apa arti dari dan ?

Saya berjuang untuk sepenuhnya memahami beberapa notasi dalam buku di mana mereka menggunakan simbol "crosshair" - pertama seperti mana adalah matriks dan yang kedua seperti mana dan keduanya adalah matriks. $\bigoplus\limits_{i=1}^n{} Z_j$ $Z_j$ $I_n \otimes \Phi$ $I_n$ $\Phi$

Buku ini tentang statistik multivariat dan bagian tentang model koefisien acak. Tidak ada lampiran notasi / terminologi untuk merujuk. Saya akan memposting gambar digital halaman sehingga pengguna dapat melihat konteksnya (ini di awal bagian).

Jadi, apakah ini tentang topik di sini atau haruskah saya posting di math.se?

Pembaruan: Saya awalnya memposting ini di meta.se dan dimigrasikan di sini. Saya sekarang melampirkan foto dari halaman buku yang relevan. masukkan deskripsi gambar di sini

mathematical-statistics mixed-model notation

— Joe King
sumber

\oplus

$\oplus$ , Jumlah langsung ; , produk Tensor .

\otimes

$\otimes$

— whuber

@ terima kasih! Itulah yang saya butuhkan. Apakah Anda ingin membuatnya menjadi jawaban sehingga saya bisa menerimanya?

— Joe King

Saya terlalu sibuk sekarang, Joe - jawaban nyata akan menjelaskan apa hal-hal ini, daripada beralih ke tautan. Jika ada yang mau memberikan detail dalam jawaban, saya akan senang memilihnya, tetapi sementara itu saya senang Anda bisa melanjutkan bacaan Anda.

— whuber

@whuber OK saya akan mengunggah gambar digital yang saya sebutkan untuk memberikan lebih banyak konteks

— Joe King

Dalam statistik, dan (mis. Untuk -matrix )

A \oplus B := [\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array}]

$A\oplus B:=\left[\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B \end{array} \right]$

2 \times 2

$2\times 2$

A

$A$

A \otimes B := [\begin{array}{cc} a_{11} B & a_{12} B \\ a_{21} B & a_{22} B \end{array}] .

$A\otimes B:=\left[\begin{array}{cc}a_{11}B & a_{12}B \\ a_{21}B & a_{22}B \end{array} \right].$

Ini berfokus pada matriks untuk digunakan dalam statistik sebagai matriks desain atau hipotesis dll, di mana notasi ini menyederhanakan struktur blok yang sering dari matriks tersebut. Orang dapat menemukan nama jumlah Kronecker untuk dan produk Kronecker untuk , terutama dalam manual perangkat lunak statistik. (Juga sangat berguna adalah perkalian matriks komponen bijaksana untuk matriks berbentuk sama. Kadang-kadang disebut produk Hadamard.) $\oplus$ $\otimes$ $A\#B=[a_{ij}b_{ij}]_{i,j}$

Dalam matematika, dan memiliki makna tipikal yang sedikit berbeda sebagai penjumlahan langsung atau produk tensor dari ruang vektor atau bahkan struktur aljabar yang lebih umum. $\oplus$ $\otimes$

— Horst Grünbusch
sumber

Arti statistik identik dengan makna matematika dari jumlah langsung dan produk tensor dari transformasi linier : rumus ini dihasilkan dari menuliskan transformasi sebagai matriks dalam basis tertentu.

— whuber

Teorema menyatakan bahwa himpunan -matri adalah isomorfik ke himpunan transformasi linear dari dimensi ke ruang vektor dimensi. Jadi di dunia ruang vektor Anda benar. Tetapi jumlah langsung ada juga antara struktur seperti kelompok. Dalam statistik, yang terakhir biasanya tidak dimaksudkan.

n \times m

$n\times m$

m

$m$

n

$n$

— Horst Grünbusch

@whuber ketika saya pertama kali mencari ini, saya menemukan [this] ( math.stackexchange.com/questions/207635/… ) yang sedikit membingungkan saya dan mendorong saya untuk bertanya di CV. Apakah tautan itu benar-benar menunjukkan penggunaan yang sama, karena server yang diterima di sana mengatakan itu "tidak membawa tambahan"?

— Joe King

@ HorstGrünbusch Saya hanya ingin mengingatkan Anda untuk komentar saya hanya membuat atas kaki whuber - juga, jika Anda bisa memperbarui jawaban Anda untuk mencerminkan apa makna yang disebut dalam statistik saya akan senang untuk menerimanya.

— Joe King

Saya tidak pernah menemukan arti khusus dari dan saya bahkan tidak yakin apakah jawaban yang diterima benar. Tapi saya cukup yakin itu bukan jumlah Kronecker dari matriks aritmatika.

\oplus

$\oplus$

— Horst Grünbusch