Jumlah warna berbeda yang diharapkan saat menggambar tanpa penggantian

Pertimbangkan sebuah guci yang berisi $N$ bola dari $P$ warna yang berbeda, dengan $p_i$ menjadi proporsi bola warna $i$ antara $N$ bola ( $\sum_i p_i = 1$ ). Saya menggambar $n \leq N$ bola dari guci tanpa penggantian dan melihat jumlah $\gamma$ warna yang berbeda di antara bola yang ditarik. Berapakah harapan $\gamma$ sebagai fungsi $n/N$ , tergantung pada sifat yang sesuai dari distribusi $\mathbf{p}$ ?

Untuk memberikan lebih banyak wawasan: jika $N = P$ dan $p_i = 1/P$ untuk semua $i$ , maka saya akan selalu melihat persis $n$ warna, yaitu, $\gamma = P (n/N)$ . Jika tidak, dapat ditunjukkan bahwa ekspektasi $\gamma$ adalah $>P(n/N)$ . Untuk tetap $P$ dan $N$ , akan terlihat bahwa faktor yang digunakan untuk mengalikan $n/N$ akan maksimal ketika $\mathbf{p}$ seragam; mungkin jumlah warna berbeda yang diharapkan terlihat dibatasi sebagai fungsi dan, misalnya, entropi ? $n/N$ $\mathbf{p}$

Ini tampaknya terkait dengan masalah pengumpul kupon, kecuali bahwa pengambilan sampel dilakukan tanpa penggantian, dan distribusi kupon tidak seragam.

probability expected-value coupon-collector-problem

— a3nm
sumber

Saya pikir masalah ini dapat dinyatakan sebagai: berapa jumlah yang diharapkan dari entri bukan nol dalam sampel dari distribusi hypergeometrik multivariat ?

— Kodiologist

Misalkan Anda memiliki warna di mana . Mari menunjukkan jumlah warna bola jadi . Mari dan membiarkan notate set yang terdiri dari himpunan bagian unsur . Misalkan menunjukkan jumlah cara yang dapat kita pilih $k$ $k \leq N$ $b_i$ $i$ $\sum b_i = N$ $B = \{b_1, \ldots, b_k\}$ $E_i(B)$ $i$ $B$ $Q_{n, c}$ $n$ elemen dari himpunan di atas sedemikian sehingga jumlah warna yang berbeda dalam himpunan yang dipilih adalah . Untuk rumusnya sederhana: $c$ $c = 1$

Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n})

$Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n}$

Untuk kita dapat menghitung set bola ukuran yang memiliki paling banyak 2 warna dikurangi jumlah set yang memiliki tepat warna: $c = 2$ $n$ $1$

Q_{n, 2} = \sum_{E \in E_{2} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n}) - (\binom{k - 1}{1}) Q_{n, 1}

$Q_{n,2} = \sum_{E \in E_{2}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \binom{k - 1}{1}Q_{n, 1}$

adalah jumlah cara Anda dapat menambahkan warna ke warna tetap sehingga Anda akan memiliki 2 warna jika Anda memilikitotal warna. Rumus generik adalah jika Anda memilikiwarna tetap dan Anda ingin membuatwarna darinya sambil memilikitotal warna() adalah $\binom{k - 1}{1}$ $k$ $c_1$ $c_2$ $k$ $c_1 \leq c_2 \leq k$ . Sekarang kita memiliki segalanya untuk memperoleh rumus umum untuk: $\binom{k - c_1}{c_2 - c_1}$ $Q_{n, c}$

Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n}) - \sum_{i = 1}^{c - 1} (\binom{k - i}{c - i}) Q_{n, i}

$Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \sum_{i = 1}^{c - 1}\binom{k - i}{c - i}Q_{n, i}$

Probabilitas bahwa Anda akan memiliki warna persis jika Anda menggambar bola adalah: $c$ $n$

P_{n, c} = Q_{n, c} / (\binom{N}{n})

$P_{n, c} = Q_{n, c} / \binom{N}{n}$

Perhatikan juga bahwa jika. $\binom{x}{y} = 0$ $y > x$

Mungkin ada kasus-kasus khusus di mana formula dapat disederhanakan. Saya tidak repot-repot menemukan penyederhanaan kali ini.

Nilai yang diharapkan Anda mencari jumlah warna tergantung pada adalah sebagai berikut: $n$

γ_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i

$\gamma_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i$

— jakab922
sumber

Anda memanggil

probabilitas, tetapi Anda tampaknya telah mendefinisikannya sebagai jumlah bilangan bulat. Apakah Anda lupa membagi sesuatu?

P_{n, c}

$P_{n,c}$

— Kodiologist

Ya, saya kira Anda benar. Anda perlu membagi dengan

, tapi sayangnya masih tidak benar seperti itu. Jika

dan

Saya melakukan penggandaan ganda dalam rumus di atas.

(\binom{N}{n})

$\binom{N}{n}$

E, F \in E_{c} (B)

$E, F \in E_{c}(B)$

E \cap F \neq \emptyset

$E \cap F \neq \emptyset$

— jakab922

Seems like the formula can be fixed by using the sieve method. I will post a fix later today.

— jakab922