Menentukan nilai sebenarnya dari pengamatan yang bising

Saya memiliki satu set besar titik data dalam bentuk (rata-rata, stdev). Saya ingin mengurangi ini menjadi rata-rata tunggal (lebih baik), dan (mudah-mudahan) standar deviasi yang lebih kecil.

Jelas aku bisa hanya menghitung , namun hal ini tidak mengambil ke account fakta bahwa beberapa titik data secara signifikan lebih akurat daripada yang lain.$\frac{\sum data_{mean}}{N}$

Sederhananya, saya ingin membentuk rata-rata tertimbang dari titik-titik data ini, tetapi tidak tahu apa fungsi bobotnya dalam hal standar deviasi.

Anda mencari penduga linier untuk rata-rata formulir$\mu$

$$\hat{\mu} = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i$$

di mana adalah bobot dan x i adalah pengamatan. Tujuannya adalah untuk menemukan nilai yang sesuai untuk bobot. Biarkan σ i menjadi benar standar deviasi dari x i , yang mungkin atau mungkin tidak bertepatan dengan perkiraan standar deviasi Anda mungkin memiliki. Anggap pengamatannya tidak bias; yaitu, harapan mereka semua sama dengan μ rata-rata . Dalam hal ini kita dapat menghitung bahwa harapan μ adalah$\alpha_i$$x_i$$\sigma_i$$x_i$$\mu$$\hat{\mu}$

$$\mathbb{E}[\hat{\mu}] = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \mathbb{E}[x_i] = \mu \sum_{i=1}^{n} \alpha_i$$

dan (asalkan tidak berkorelasi) varians dari estimator ini adalah$x_i$

$$\operatorname{Var}\left[\hat{\mu}\right] = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i^2 \sigma_i^2.$$

$\alpha_i$$1/\sigma_i^2$

$$\hat{\mu} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i / \sigma_i^2}{\sum_{i=1}^{n} 1 / \sigma_i^2}$$

dan

$$\operatorname{Var}\left[\hat\mu\right] = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n} 1 / \sigma_i^2} = \frac{1}{n} \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2}\right)^{-1}.$$

Dalam kata kata,

$1/n$

$\sigma_i$