Seperti yang ditunjukkan Glen_b, jika bus tiba setiap menit tanpa ketidakpastian apa pun , kita tahu bahwa waktu tunggu maksimum yang dimungkinkan adalah 15 menit. Jika dari bagian kami, kami tiba "secara acak", kami merasa bahwa "rata-rata" kami akan menunggu setengah dari waktu tunggu maksimum yang mungkin . Dan waktu tunggu maksimum yang mungkin ada di sini sama dengan panjang maksimum yang dimungkinkan antara dua kedatangan berturut-turut. Nyatakan waktu tunggu kami W dan panjang maksimum antara dua kedatangan bus berturut-turut R , dan kami berpendapat demikian1515WR
E( W) = 12R = 152= 7,5(1)
dan kami benar.
Tapi tiba-tiba kepastian diambil dari kami dan kami diberitahu bahwa menit sekarang adalah panjang rata - rata antara dua kedatangan bus. Dan kita jatuh ke dalam "perangkap pemikiran intuitif" dan berpikir: "kita hanya perlu mengganti R dengan nilai yang diharapkan", dan kami berdebat15R
E( W) = 12E( R ) = 152= 7,5SALAH(2)
Sebuah indikasi pertama bahwa kita salah, adalah bahwa adalah tidak "panjang antara dua berturut-turut bus-pendatang", itu adalah " maksimum panjang dll". Jadi dalam hal apa pun, kita memiliki E ( R ) ≠ 15 .RE( R ) ≠ 15
Bagaimana kita sampai pada persamaan ? Kami berpikir: "waktu tunggu bisa dari 0 hingga 15 maksimum . Saya tiba dengan probabilitas yang sama pada setiap contoh, jadi saya" memilih "secara acak dan dengan probabilitas yang sama semua waktu tunggu yang memungkinkan. Oleh karena itu setengah panjang maksimum antara dua kedatangan bus berturut-turut adalah saya waktu tunggu rata - rata ". Dan kami benar.( 1 )015
Tetapi dengan salah memasukkan nilai dalam persamaan ( 2 ) , itu tidak lagi mencerminkan perilaku kita. Dengan 15 sebagai pengganti E ( R ) , persamaan ( 2 ) mengatakan "Saya memilih secara acak dan dengan probabilitas yang sama semua waktu tunggu yang mungkin lebih kecil atau sama dengan panjang rata-rata antara dua kedatangan bus berturut-turut " -dan di sinilah tempat intuitif kami kesalahan terletak, karena, perilaku kita tidak berubah - jadi, dengan tiba secara acak secara seragam, kita pada kenyataannya masih "memilih secara acak dan dengan probabilitas yang sama" semua kemungkinan waktu menunggu - tetapi "semua kemungkinan waktu menunggu" tidak ditangkap oleh15( 2 )15E( R )( 2 ) - kami telah melupakan ekor kanan distribusi panjang antara dua kedatangan bus berturut-turut. 15
Jadi mungkin, kita harus menghitung nilai yang diharapkan dari panjang maksimum antara dua kedatangan bus berturut-turut, apakah ini solusi yang benar?
Ya bisa saja, tetapi : "paradoks" tertentu berjalan seiring dengan asumsi stokastik tertentu: bahwa kedatangan bus dimodelkan dengan proses benchmark Poisson, yang berarti bahwa sebagai konsekuensinya kita menganggap bahwa jangka waktu antara setiap dua kedatangan bus berturut-turut mengikuti distribusi eksponensial. Nyatakan panjang itu, dan kami memilikinyaℓ
fℓ( ℓ ) = λ e- λ ℓ,λ = 1 / 15 ,E( ℓ ) = 15
Tentu saja ini perkiraan, karena distribusi Eksponensial memiliki dukungan tak terbatas dari kanan, yang berarti bahwa dengan tegas "semua waktu tunggu yang memungkinkan" termasuk, di bawah asumsi pemodelan ini, besarnya yang lebih besar dan besar hingga dan "termasuk" tak terhingga, tetapi dengan probabilitas menghilang .
Tapi tunggu, Eksponensial itu tanpa ingatan : tidak masalah pada titik kapan kita akan tiba, kita menghadapi variabel acak yang sama , terlepas dari apa yang telah terjadi sebelumnya.
Dengan asumsi stokastik / distribusi ini, setiap titik waktu adalah bagian dari "interval antara dua kedatangan bus berturut-turut" yang panjangnya dijelaskan oleh distribusi probabilitas yang sama dengan nilai yang diharapkan (bukan nilai maksimum) : "Saya di sini, saya dikelilingi oleh interval antara dua kedatangan bus.Beberapa panjangnya terletak di masa lalu dan beberapa di masa depan tetapi saya tidak memiliki cara untuk mengetahui berapa banyak dan berapa banyak, jadi yang terbaik yang bisa saya lakukan adalah bertanya Berapa panjang yang diharapkan - mana yang akan menjadi waktu tunggu rata-rata saya? " - Dan jawabannya selalu " 15 ", sayangnya. 1515