Kapan jika statistik median merupakan statistik yang cukup?

Saya menemukan komentar pada The Chemical Statistician bahwa sampel median sering bisa menjadi pilihan untuk statistik yang cukup tetapi, selain kasus yang jelas dari satu atau dua pengamatan di mana itu sama dengan rata-rata sampel, saya tidak bisa memikirkan non-sepele dan iid lainnya. kasus di mana median sampel sudah cukup.

Dalam kasus ketika dukungan distribusi tidak tergantung pada parameter yang tidak diketahui we, kita dapat menggunakan teorema (Fréchet-Darmois-) Pitman-Koopman , yaitu bahwa kepadatan pengamatan harus dari bentuk keluarga eksponensial, untuk menyimpulkan bahwa, karena statistik kecukupan alami juga cukup memadai, maka median harus merupakan fungsi , yang tidak mungkin: memodifikasi ekstrem dalam pengamatan , , memodifikasi tetapi tidak memodifikasi median.S = n ∑ i = 1 T ( x i ) S x 1 , … , x n n > 2

$$\exp\{ \theta T(x) - \psi(\theta) \}h(x)$$ $$S=\sum_{i=1}^n T(x_i)$$ $S$$x_1,\ldots,x_n$$n>2$$S$

Dalam kasus alternatif ketika dukungan distribusi bergantung pada parameter yang tidak diketahui θ, kita dapat mempertimbangkan kasus ketika mana set diindeks oleh θ adalah dukungan dari . Dalam kasus tersebut, teorema factorisation menyiratkan bahwa adalah fungsi 0-1 dari median sampel Menambahkan pengamatan lebih lanjut x_ { n + 1} yang nilainya sedemikian sehingga tidak mengubah median sampel kemudian mengarah ke kontradiksi karena mungkin di dalam atau di luar set dukungan, sementara A

$$f(x|\theta) = h(x) \mathbb{I}_{A_\theta}(x) \tau(\theta)$$ $A_\theta$n ∏ i = 1 I A θ ( x i ) n ∏ i = 1 I A θ ( x i ) = I B n θ ( med ( x 1 : n$f$ $$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i)$$ x n + 1 I B n + 1 θ ( med ( x 1 : n + 1 ) ) = I B n θ ( med ( x 1 : n ) ) × I A θ ( x n + 1 $$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i) = \mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))$$ $x_{n+1}$ $$\mathbb{I}_{B^{n+1}_\theta}(\text{med}(x_{1:n+1}))=\mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))\times \mathbb{I}_{A_\theta}(x_{n+1})$$