Mengapa hanya ada

Dalam PCA, ketika jumlah dimensi lebih besar dari (atau bahkan sama dengan) jumlah sampel , mengapa Anda akan memiliki paling banyak vektor eigen bukan nol? Dengan kata lain, pangkat matriks kovarians di antara dimensi adalah . $d$ $N$ $N-1$ $d\ge N$ $N-1$

Contoh: Sampel Anda adalah gambar vektor, yang berdimensi , tetapi Anda hanya memiliki gambar. $d = 640\times480 = 307\,200$ $N=10$

pca dimensionality-reduction eigenvalues

— GrokingPCA
sumber

Bayangkan

poin dalam 2D atau 3D. Apa dimensi bermacam-macam yang ditempati titik-titik ini? Jawabannya adalah

: dua titik selalu terletak pada garis (dan garis adalah 1-dimensi). Dimensi tepat ruang itu tidak masalah (asalkan lebih besar dari

), poin Anda hanya menempati ruang bagian 1 dimensi. Jadi varians hanya "menyebar" di subruang ini, yaitu sepanjang 1 dimensi. Ini tetap berlaku untuk

apa pun .

N = 2

$N=2$

N - 1 = 1

$N-1=1$

N

$N$

N

$N$

— Amoeba berkata Reinstate Monica

Saya hanya akan menambahkan presisi tambahan untuk komentar @ amoeba. Titik asal juga penting. Jadi, jika Anda memiliki N = 2 + asal, jumlah dimensi paling banyak 2 (bukan 1). Namun, dalam PCA kita biasanya memusatkan data, yang berarti bahwa kita menempatkan asal di dalam ruang data cloud - maka satu dimensi dikonsumsi dan jawabannya akan "N-1", seperti yang ditunjukkan oleh amuba.

— ttnphns

Inilah yang membingungkan saya. Bukan pemusatan per se yang menghancurkan dimensi, kan? Jika Anda memiliki sampel N dan dimensi N yang tepat, maka bahkan setelah pemusatan Anda masih memiliki vektor eigen N ..?

— GrokingPCA

Mengapa? Pemusatan yang menghancurkan satu dimensi. Pemusatan (dengan rata-rata aritmatika) "memindahkan" asal dari "luar" ke dalam ruang "terbentang" oleh data. Dengan contoh N = 2. 2 poin + beberapa asal umumnya span pesawat. Saat Anda memusatkan data ini, Anda menempatkan sumber pada garis lurus di tengah antara 2 poin. Jadi, data sekarang hanya menjangkau garis.

— ttnphns

Euclid sudah tahu ini 2300 tahun yang lalu: dua titik menentukan garis, tiga titik menentukan sebuah pesawat. Generalisasi, titik

menentukan ruang Euclidean

dimensi .

N

$N$

N - 1

$N-1$

— whuber

Pertimbangkan apa yang dilakukan PCA. Sederhananya, PCA (seperti kebanyakan berjalan) menciptakan sistem koordinat baru dengan:

menggeser asal ke pusat data Anda,
meremas dan / atau meregangkan sumbu agar panjangnya sama, dan
memutar sumbu Anda ke orientasi baru.

$X_1$ yang ortogonal ke komponen utama pertama . Komponen utama yang tersisa juga dibentuk.

X = [\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{array}]

$X = \bigg[ \begin{array}{ccc} 1 &1 &1 \\ 2 &2 &2 \end{array} \bigg]$ Mari kita lihat titik-titik ini dalam sebar sebar tiga dimensi (semu):

enter image description here

Jadi mari kita ikuti langkah-langkah yang tercantum di atas. (1) Asal usul sistem koordinat baru akan berlokasi di $(1.5, 1.5, 1.5)$ . (2) Sumbu sudah sama. (3) Komponen utama pertama akan diagonal dari $(0,0,0)$ untuk $(3,3,3)$ , yang merupakan arah variasi terbesar untuk data ini. Sekarang, komponen utama kedua harus ortogonal dengan yang pertama, dan harus mengarah pada variasi terbesar yang tersisa . Tapi ke arah mana itu? Apakah itu dari $(0,0,3)$ to $(3,3,0)$ , or from $(0,3,0)$ to $(3,0,3)$ , or something else? There is no remaining variation, so there cannot be any more principal components.

With $N=2$ data, we can fit (at most) $N-1 = 1$ principal components.

— gung - Reinstate Monica
sumber